第九章 复数（压轴题专练）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（沪教版2020必修第二册）

第九章 复数（压轴题专练） 一、填空题 1．已知实数x、y满足，则 ． 2．设复平面内的不同三点对应复数分别为，若（是虚数单位），则的值为 . 3．对任意三个模长小于1的复数，，，均有恒成立，则实数的最小可能值是 ． 4．被称为欧拉公式.我们运用欧拉公式，可以推导出倍角公式.如：.类比方法，我们可以得到 （用含有的式子表示） 5．若为虚数单位，复数满足，则的最大值为 . 6．若非零复数满足，则的值是 . 7．在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为 . 8．已知，且z是复数，当的最大值为3，则 . 9．已知方程的两个根在复平面上对应的两点之间的距离为，则 ． 10．为求方程的虚根，可把原式变形为，由此可得原方程的一个虚根的实部为 . 11．已知集合（其中 为虚数单位），则满足条件的集合M的个数为 . 二、单选题 12．设（、、）.已知关于的方程有纯虚数根，则关于的方程的解的情况，下列描述正确的是（    ） A．方程只有虚根解，其中两个是纯虚根 B．可能方程有四个实数根的解 C．可能有两个实数根，两个纯虚数根 D．可能方程没有纯虚数根的解 13．设是正整数，分别记方程、的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为与．若存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，则的值可以是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 14．复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（    ）个. A．9 B．10 C．11 D．无数 15．已知设，则，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 16．已知复数，和满足，若，则的最大值为（    ） A． B．3 C． D．1 17．已知复数，则（    ） A．2022 B．2023 C． D． 18．已知复数z满足，则中不同的数有（    ） A．4个 B．6个 C．2019个 D．以上答案都不正确 19．已知复数满足且，则的值为（    ） A． B． C． D． 20．设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则（    ） A． B． C． D． 21．已知复数满足，且有，求（    ） A． B． C． D．都不对 22．设复数在复平面上对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数，则（    ） A． B． C． D． 三、解答题 23．已知复数的三角形式为. (1)若复数对应的向量为，把按逆时针方向旋转15°，得到向量恰好在轴正半轴上，求复数（用代数形式表示）. (2)若的实部为，是否存在正整数，使得对于任意实数，只有最小值而无最大值？若存在这样的的值，则求出此时使取得最小值的的值；若不存在这样的的值，请说明理由. 24．已知函数，其中，证明：存在，且.的根的实部全部大于0. 25．对于一组复数，，，…，，令，如果存在，使得，那么称是该复数组的“复数”. （1）设，若是复数组，，的“复数”，求实数的取值范围； （2）已知，，是否存在复数使得，，均是复数组，，的“复数”？若存在，求出所有的，若不存在，说明理由； （3）若，复数组，，，…，是否存在“复数”？给出你的结论并说明理由． 26．设非零复数满足关系，且的实部为，其中． (1)当时，求复数，使在复平面上对应的点位于实轴的下方； (2)是否存在正整数，使得对于任意实数，只有最小值而无最大值？若存在这样的的值，请求出此时使取得最小值的的值；若不存在这样的的值，请说明理由． 27．已知是关于的实系数一元二次方程. (1)若是方程的一个根，且，求实数的值； (2)若是该方程的两个实根，且，求使的值为整数的所有的值. 28．已知关于的方程． （1）在复数集中求方程的两根、； （2）求的值． 29．对任意的复数，定义运算．则直线：上是否存在整点（、均为整数的点），使得复数经运算后，对应的点也在直线上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由． 30．对于非空集合，定义其在某一运算（统称乘法）“×”下的代数结构称为“群”，简记为．而判断是否为一个群，需验证以下三点： 1.（封闭性）对于规定的“×”运算，对任意，都须满足； 2.（结合律）对于规定的“×”运算，对任意，都须满足； 3.（恒等元）存在，使得对任意，； 4.（逆的存在性）对任意，都存在，使得． 记群所含的元素个数为，则群也称作“阶群”．若群的“×”运算满足交换律，即对任意，，我们称为一个阿贝尔群（或交换群）． (1)证明：所有实数在普通加法运算下构成群； (2)记为所有模长为1的复数构成的集合，请找出一个合适的“×”运算使得在