第九章 复数（5大易错与1大拓展）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（沪教版2020必修第二册）

第九章 复数（易错与拓展） 易错点1．对复数的相关概念混淆不清 【例1.1】设复数（），则“”是“为纯虚数”的（ ） A．既不充分也不必要条件 B．充要条件 C．充分非必要条件 D．必要非充分条件 【例1.2】 以下有四个命题：（1）两个共轭复数的差是纯虚数；（2）若，则；（3）若且，则;（4），则．其中正确的有 个． 【针对训练1】设复数(其中，为虚数单位)，则“”是“为纯虚数”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【针对训练2】给出下列四个命题：①若复数，满足，则；②若复数，满足，则；③若复数满足，则是纯虚数；④若复数满足，则是实数，其中真命题的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【针对训练3】（2020·上海市进才中学高二月考）在复数范围内（为虚数单位），下列命题正确是（ ） A． B．若，则； C．若，则 D．若，则 【针对训练4】下列命题中,正确的命题是（ ） A．若，则 B．若，则不成立 C．，则或 D．，则且 易错点2．对复数的模理解不透 【例2.1】设其中,实数,则( ) （A）1 （B） （C） （D）2 【例2.2】在复数范围内解不等式． 【针对训练1】已知复数（是虚数单位）是虚数，且，则实数的值是______ 【针对训练2】已知复数则_________． 易错点3．复数相等的条件应用出错 【例3.1】已知是实数，是纯虚数，且满足，求与的值． 【针对训练1】关于的方程有纯虚数根，则为（ ）． A．0 B．1 C．2 D．0或2 【针对训练2】已知为复数，满足，求的值． 易错点4．复数的几何意义、模的几何意义理解不清 【例4.1】复数在复平面上对应的点绕原点按逆时针方向旋转，所得点对应的复数是（ ） A． B． C． D． 【例4.2】在复平面内，复数对应的点的坐标是，则___________. 【例4.3】设复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例4.4】在复平面内，复数、对应的点分别为、，若为线段的中点，则点对应的复数是______. 【例4.5】已知复数满足，则(为虚数单位)的最小值为_________． 【针对训练1】设，其中，则下列命题中正确的是（ ） A．复数z可能为纯虚数 B．复数z可能是实数 C．复数z在复平面上对应的点在第一象限 D．复数z在复平面上对应的点在第四象限 【针对训练2】若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【针对训练3】复数在复平面上对应的点不可能在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【针对训练4】在复平面上，复数z对应的点为，则________. 【针对训练5】已知复数满足，则的取值范围是__________. 易错点5．复数范围内解实系数一元二次方程和实数范围内混淆 【例5.1】已知关于的方程有实数根，求实数k应满足的条件． 【针对训练1】若方程有实数根，则实数k的取值是____________． 拓展1：复数的三角形式 1、复数的三角形式 复数对应着复平面上的一个点.我们把以原点为顶点，轴的正半轴为始边，射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角(argument)，记作Arg. 因为一个角的终边绕原点旋转仍回到原来的位置，所以任意一个非零复数的辐角都有无穷多个，其任意两个辐角的大小的差一定是的整数倍.例如，虚数单位的辐角可以是任 何 规定:复数0的辐角的大小是任意的值. 在复数的所有辐角中,满足的辐角称为的辐角主值，记作.复数的辐角虽不是唯一确定的，但非零复数的辐角主值则是唯一确定的. 复数的任意一个辐角与复数的模一起，就完全确定了复数.事实上，如上图，.于是 . 复数的这种表示形式叫做它的三角形式. 2、三角形式下复数的乘除、乘方、开方 设有两个用三角形式表示的复数与，其中，则 ； . 设 , 则对任何正整数 , 有 ； 的 次方根为： 3、应用 【例1.1】把下列复数表示成三角形式，并求出它们的模与辐角主值： （1）； （2）； （3）； （4） 【例1.2】设复数，求复数的模及辐角主值． 【例1.3】在复数范围内，验证，，1，2，…，为方程的n个根，并给出几何解释． 【例1.4】若复数是一个纯虚数，则的一个可能的值是（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 【例1.5】计算： （1）； （2）． 【针对训练1】设复数满足条件，则对应复平面上的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【针对训