专题10.1 解二元一次方程组（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题10.1 解二元一次方程组 · 思想方法 换元法：是数学中的重要方法之一，它往往和消元的思想联系在一起。换元的实质就是“转化”的数学思想，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换。换元的基本方法有：整体换元、局部换元、均值换元、三角换元等。换元法的一般步骤为：设元（或构造元）、换元、求解、回代和检验等。 · 典例分析 【典例1】数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． （1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ． （2）知识迁移：请用这种方法解方程组． （3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为， 求关于x，y的方程组的解． 【思路点拨】 （1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【解题过程】 解：（1）设，，则原方程组可化为， ∵的解为， ∴， 解得， 故答案为：； （2）设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 即：方程组的解为； （3）设，，则原方程组可化为， 化简，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴，即有， 解得：， 故方程组的解为：． · 学霸必刷 1．（2023下·河南南阳·七年级统考期末）解方程组． 2．（2023·全国·九年级专题练习）用代入法解方程组： 3．（2023下·浙江宁波·七年级校联考期中）解下方程组： （1） （2） 4．（2022下·湖北咸宁·七年级校考期末）选择适当的方法解下列方程组： （1）； （2）． 5．（2023下·辽宁营口·七年级校考期中）解方程组 （1） （2） 6．（2023上·广东深圳·八年级红岭中学校考期末）解方程组： （1）； （2）． 7．（2024上·安徽宿州·八年级统考期末）解方程组： （1）； （2）． 8．（2023下·海南海口·七年级海南华侨中学校考期中）解方程组： （1）； （2）． 9．（2023下·湖北襄阳·七年级校考期中）解方程： （1）； （2）． 10．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）解下列二元一次方程组： （1）； （2）． 11．（2023下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）解方程组: （1）； （2）． 12．（2022下·七年级单元测试）解下列方程组． （1）； （2）； （3）； （4）． 13．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）解方程组： （1）； （2）． （3）（限用代入法） （4） 14．（2023上·全国·八年级专题练习）试求方程组的解． 15．（2023下·河南南阳·七年级统考期末）先阅读，再解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得， 解得，从而进一步得这种方法被称为“整体代入法”． 请用上述方法解方程组． 16．（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）教材中有这样一道题目：解方程组圆圆认为，只要把两个方程分别去分母，化简，再用加减消元法或代入消元法，可以求解方方认为，圆圆的方法计算量大，容易出错，可以把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元解决问题请参考以上两位同学的思路，任选一种方法，解这个方程组． 17．（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考期中）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法，把，分别看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． 请你模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解下列方程组： （1）； （2）． 18．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，，原方程组可化为 解得，即，解得 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为： 根据上述材料，解决下列问题： （1）运用换元法解求关于，的方程组：的解； （2）若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． （3）已知、、，满足，试求的值． 19．（2023下·重庆铜梁·七年级铜梁二中校考期中）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得，∴原方程组的解为 ． （1）学以致