大题强化及变式训练（3）-2024届高三数学二轮复习大题强化及变式训练（新高考九省联考题型）

2024届高三二轮复习大题强化训练及变式训练（3） 1．设为数列的前项和，已知，且为等差数列． （1）求证：数列为等差数列； （2）若数列满足，且，设为数列的前项和，集合，求（用列举法表示）． 变式：已知数列前项和为，满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 2．“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. （1）若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； （2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值. 变式：为了开展“成功源自习惯，习惯来自日常”主题班会活动，引导学生养成良好的行为习惯，提高学习积极性和主动性，在全校学生中随机调查了名学生的某年度综合评价学习成绩，研究学习成绩是否与行为习惯有关.已知在全部人中随机抽取一人，抽到行为习惯良好的概率为，现按“行为习惯良好”和“行为习惯不够良好”分为两组，再将两组学生的学习成绩分成五组：、、、、，绘制得到如图所示的频率分布直方图. （1）若规定学习成绩不低于分为“学习标兵”，请你根据已知条件填写下列列联表，并判断是否有的把握认为“学习标兵与行为习惯是否良好有关”； 行为习惯良好 行为习惯不够良好 总计 学习标兵 非学习标兵 总计 （2）现从样本中学习成绩低于分的学生中随机抽取人，记抽到的学生中“行为习惯不够良好”的人数为，求的分布列和期望. 参考公式与数据：，其中. 3．在五棱锥中，，，平面平面. （1）求证：； （2）若，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 变式：在长方体中， 是上的点,，且的长成等比数列，又是所在的直线上的动点. （1）求证：平面 （2）若，求与平面所成角的正弦值的最大值. 4．已知函数 （1）求在处的切线方程; （2）记函数 ①当时， 求证: 不恒成立； ②若 恒成立，求实数a的最大值. 变式：已知函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）若，求证：在定义域内有两个不同的零点； （3）若恒成立，求的值． 5．动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为. （1）求的方程； （2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：，试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，切点分别为. （i）证明：直线过定点； （ii）点关于轴的对称点为，连接交轴于点，设的面积分别为，求的最大值. 变式：已知点是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若点，直线，过点的直线与交于两点，直线与直线分别交于点．证明：的中点为定点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届高三二轮复习大题强化训练及变式训练（3） 1．设为数列的前项和，已知，且为等差数列． （1）求证：数列为等差数列； （2）若数列满足，且，设为数列的前项和，集合，求（用列举法表示）． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）设等差数列的公差为d，由题意可得、，解得，结合求得，即可证明； （2）由（1）可得，根据累乘法可得，结合裂项相消求和法计算即可求解. 【解析】（1）设等差数列的公差为d，则，即，① 因为，所以由，得．② 由①、②解得，所以，即， 当时，， 当时，，上式也成立，所以， 所以数列是等差数列． （2）由（1）可知， 当时，， 因为满足上式，所以． ， 因为当时，，所以． 变式：已知数列前项和为，满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由作差得到，再利用累乘法计算可得； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得. 【解析】（1）因为，当时，， 所以， 当时，， 所以， 所以，，，，， 累乘得 所以， 当时也成立，所以. （2）由（1）得， 所以 . 2．“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培