大题强化及变式训练（2）-2024届高三数学二轮复习大题强化及变式训练（新高考九省联考题型）

2024届高三二轮复习大题强化训练及变式训练（2） 1．已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，求函数的最大值． 变式：设函数，其中a为实数． （1）当时，求的单调区间； （2）当在定义域内有两个不同的极值点时，证明：． 2．2024年春节期间，某家庭设计了一个抽红包游戏，以营造和谐轻松愉快的家庭氛围．游戏中有外观完全相同的红包共6个，其中装有10元，20元，30元的红包各两个，小明每次从中任意抽取3个红包，记录金额后放回，共抽2次．若每次抽的红包总金额超过60元记2分，超过40元不超过60元记1分，不超过40元不计分，两次结束得分恰好为3分奖励旺旺零食大礼包一份． （1）求小明在第一次抽取中，抽出装有20元红包个数多于装有10元红包个数的概率； （2）用随机变量X表示小明抽两次的得分总和，求X的分布列及期望． 变式：袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各 2个，从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等. （1）求取出的2个小球上的数字互不相同的概率； （2）用X 表示取出的 2个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和数学期望. 3．在四棱锥中，已知，． （1）求证：平面平面； （2）若线段上存在点，满足，且平面与平面的夹角的余弦值为，求实数的值． 变式：如图，在多面体中，四边形为平行四边形，且平面，且.点分别为线段上的动点，满足. （1）证明：直线平面； （2）是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为？请说明理由. 4．已知为拋物线的焦点，为坐标原点，为的准线上一点，直线的斜率为的面积为．已知，设过点的动直线与抛物线交于两点，直线与的另一交点分别为． （1）求拋物线的方程； （2）当直线与的斜率均存在时，讨论直线是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 变式：已知椭圆的上顶点为，左焦点为，直线与圆相切. （1）求椭圆的标准方程； （2）若不过点的动直线与椭圆相交于两点，若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标. 5．若有穷数列满足：，则称此数列具有性质. （1）若数列具有性质，求的值； （2）设数列A具有性质，且为奇数，当时，存在正整数，使得，求证：数列A为等差数列； （3）把具有性质，且满足（为常数）的数列A构成的集合记作.求出所有的，使得对任意给定的，当数列时，数列A中一定有相同的两项，即存在. 变式：设为给定的正奇数，定义无穷数列：若是数列中的项，则记作. （1）若数列的前6项各不相同，写出的最小值及此时数列的前6项； （2）求证：集合是空集； （3）记集合正奇数，求集合.（若为任意的正奇数，求所有数列的相同元素构成的集合.） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届高三二轮复习大题强化训练及变式训练（2） 1．已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，求函数的最大值． 【答案】（1）在上为增函数；在上为减函数； （2） 【分析】（1）直接利用函数的导数确定函数的单调区间． （2）求导根据函数的单调性即可求解最值． 【解析】（1）的定义域为， 当时，，， 当，解得：， 当，解得：． 在上为增函数；在上为减函数； （2）的定义域为， ， 当时，令，得，令时，得， 的递增区间为，递减区间为． . 变式：设函数，其中a为实数． （1）当时，求的单调区间； （2）当在定义域内有两个不同的极值点时，证明：． 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为 （2）证明见解析 【分析】（1）求出原函数的导数，结合导数性质即可得其单调区间； （2）由题意可得是函数的导数的两个不同零点，即可利用韦达定理结合题意得到的范围，并将中的变量替换成，再借助导数研究其单调性即可得证. 【解析】（1）的定义域为，， 令，得或， 时，，时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）， 由在上有两个不同的极值点， 故有两个不同的正根，则有，解得， 因为 ， 设，， 则，故在上单调递增， 又， 故． 2．2024年春节期间，某家庭设计了一个抽红包游戏，以营造和谐轻松愉快的家庭氛围．游戏中有外观完全相同的红包共6个，其中装有10元，20元，30元的红包各两个，小明每次从中任意抽取3个红包，记录金额后放回，共抽2次．若每次抽的红包总金额超过60元记2分，超过40元不超过60元记1分，不超过40元不计分，两次结束得分恰好为3分奖励旺旺零食大礼包一份． （1）求小明在第一次抽取中，抽出装有20元红包个数多于装有10元红包个数的概率； （2）用随机变量X表示小明抽两次的得分总和，求X的分布列及期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【分析】（1）由抽出的20元红包个数和10元红包个数，分