大题强化及变式训练（4）-2024届高三数学二轮复习大题强化及变式训练（新高考九省联考题型）

2024届高三二轮复习大题强化训练及变式训练（4） 1．在△ABC中，∠A＝90°，点D在BC边上．在平面ABC内，过D作DF⊥BC且DF＝AC． （1）若D为BC的中点，且△CDF的面积等于△ABC的面积，求∠ABC； （2）若，且BD＝3CD，求cos∠CFB． 变式：已知在与中，与在直线的同侧，，直线与直线交于. （1）若，求的取值范围； （2）证明：. 2．已知. （1）当时，求的零点个数； （2）讨论的单调性. 变式：已知函数（）． （1）讨论的单调性； （2）若函数有三个不同零点，求的取值范围． 3．如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面，. （1）证明：平面； （2）若点Q是线段的中点，M是直线上的一点，N是直线上的一点，是否存在点M，N使得?请说明理由. 变式：如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且.设为棱上的点. （1）若为的中点，求证：； （2）若三棱台的体积为，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 4．已知抛物线的焦点为各顶点均在上，且． （1）证明：是的重心； （2）能否是等边三角形？并说明理由； （3）若均在第一象限，且直线的斜率为，求的面积． 变式：已知抛物线E：的焦点为F，若的三个顶点都在抛物线E上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”． 设“核心三角形ABC”的一边AB所在直线的斜率为2，求直线AB的方程； 已知是“核心三角形”，证明：三个顶点的横坐标都小于 5．2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为. （1）若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率； （2）若一条信息有种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，，…，，则称（其中）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵； （3）将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为（，2，3，⋯，，⋯）.证明：当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数. 参考公式：时，，. 变式：2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到颗番石榴（不妨设颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前颗番石榴，自第颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为. （1）若，求； （2）当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值. （取） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届高三二轮复习大题强化训练及变式训练（4） 1．在△ABC中，∠A＝90°，点D在BC边上．在平面ABC内，过D作DF⊥BC且DF＝AC． （1）若D为BC的中点，且△CDF的面积等于△ABC的面积，求∠ABC； （2）若，且BD＝3CD，求cos∠CFB． 【答案】（1）∠ABC＝60° （2） 【分析】（1）由两三角形的面积相等可得，再由可得，从而结合已知可得，进而可求得∠ABC； （2）设，则，然后在中分别利用勾股定理求出，再在中利用余弦定理可求得结果. 【解析】（1）如图所示 在中，，点在边上． 在平面内，过作且