专题04 实数新定义问题压轴题专项训练-【好题汇编】2023-2024学年七年级数学下学期期中真题分类汇编（广东专用）

专题04 实数新定义问题压轴题专项训练 一、填空题 1．我们规定：表示不超过x的最大整数．如：，．现已知对所有正整数n成立，则的值为 ． 2．对于任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，．现对72进行如下操作：72第一次第二次第三次，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ． 3．对于一个三位正整数，若各个数位上的数字都不为，且百位数字与个位数字之和恰好等于十位数字的两倍，则称这个三位正整数叫“中项两倍数”把“中项两倍数”的各个数字之和被整除的商记为其中，能被整除，且为有理数的所有“中项两倍数”的值为 ． 二、解答题 4．对于一个百位数字与十位数字之和为3的四位正整数m，其各数位上数字均不为零且小于9，交换千位与个位上的数字得到数，令，若为正整数，则称m为“三中全会”数．例如：对于8212，，，∵18是正整数，∴8212是“三中全会”数；对于3216，，，∵不是正整数，∴3216不是“三中全会”数． (1)请判断6214，4127是否是“三中全会”数，并说明理由； (2)对“三中全会”数m，若其百位数字小于十位数字，去掉它的百位和十位后得到的两位数与m的百位、十位和个位上的数字之和记为，若是整数，则称m为“南开全对”数，请求出所有“南开全对”数． 5．单项式“a2”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程： 面积为2的正方形边长为，可知＞1，因此设＝1＋r，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，则x2＋2×r＋1＝2，由于r2较小故略去，得2r＋1≈2，则r≈0.5，即≈1.5 (1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； (2)继续仿照上述方法，在（1）中得到的的近似值的基础上，再探究一次，使求得的的近似值更加准确，精确到0.001（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； (3)综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若n＜＜n＋1，且b＝n2＋m，试用含m和n式子表示的估算值． 6．已知一列数：，，，，…，满足对为一切正整数都有 ，，， ，成立，且． (1)求，的值； (2)猜想第个数（用表示）； (3)求的值． 7．在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段PO与线段PA的长度之比定义为点P的开心值，记作P，即P＝．例如：当点P是线段OA的中点时，因为PO＝PA，所以P＝1． (1)若M点表示的数是，则M=_______，若N点表示的数是-3，则N＝_______； (2)数轴上点T满足OT＝OA，求T； (3)数轴上点R表示有理数r，已知R＜100且R为整数，则所有满足条件的r的倒数之和为s，则＝_________． 8．已知，x为的整数部分，y为的小数部分．求的值． 9．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是_________； (2)若其中一个无理数的“麓外区间”为且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，求值． (3)实数x，y，m满足关系式：，求的算术平方根的“麓外区间”． 10．观察下列计算过程，猜想立方根． ，，，，，，，，； (1)小明是这样试求出的立方根的．先估计的立方根的个位数，猜想它的个位数为______，又由；猜想的立方根的十位数为_______，可得的立方根； (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①______，②______． 11．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．    (1)求的值； (2)在数轴上另有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求线段的中点与点之间的距离． 12．下面是小敏写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 2023年9月22日天气：晴 无理数与线段长． 今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为． 类似地，我们可以在数轴上找到表示，，…的点． 拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，