题型4 二次函数性质综合题-【一战成名新中考】2024河南中考数学·培优册

培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 题 型 突 破 篇 题型四　二次函数性质综合题（１０年２考） 类型１　对称性、最值问题（２０２０．２１） １．（２０２３新乡模拟）如图，在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，已知抛物线ｙ＝ａｘ２－４ａｘ－５（ａ≠０） 与ｘ轴交于Ａ，Ｂ（５，０）两点． （１）求抛物线解析式及对称轴； （２）若点Ｍ（ｍ，ｙＭ）与点Ｎ（６，ｙＮ）在抛物线 上，且ｙＭ＜ｙＮ，求ｍ的取值范围． 第１题图 解：（１）∵点Ｂ（５，０）在抛物线ｙ＝ａｘ２－４ａｘ－５（ａ ≠０）上， ∴０＝ａ×５２－４ａ×５－５，解得ａ＝１， ∴该抛物线的解析式为ｙ＝ｘ２－４ｘ－５＝（ｘ－２）２－９， ∴该抛物线的对称轴为直线ｘ＝２； （２）∵ｙ＝ｘ２－４ｘ－５＝（ｘ－２）２－９， ∴该抛物线开口向上，对称轴为直线ｘ＝２， ∴当ｘ＝６和ｘ＝－２时，对应的函数值相等， ∵点Ｍ（ｍ，ｙＭ）与点Ｎ（６，ｙＮ）在抛物线上，且 ｙＭ ＜ｙＮ， ∴－２＜ｍ＜６， 即ｍ的取值范围为－２＜ｍ＜６． ２．（优质原创）如图，已知二次函数ｙ＝ａｘ２－ｘ ＋１的图象经过点Ｐ（１，２）． （１）求ａ的值和二次函数图象的顶点坐标； （２）点Ｑ（ｍ，ｎ）在该二次函数图象上， ①当ｍ＝２时，求ｎ的值； ②若点Ｑ到ｙ轴的距离小于１，请根据图象 求出ｎ的取值范围． 第２题图 解：（１）把Ｐ（１，２）代入ｙ＝ａｘ２－ｘ＋１得２＝ａ－１ ＋１， 解得ａ＝２， ∴ｙ＝２ｘ２－ｘ＋１＝２（ｘ－１４） ２＋７８， ∴二次函数图象的顶点坐标为（１４， ７ ８）； （２）①把ｘ＝２代入ｙ＝２ｘ２－ｘ＋１得 ｙ＝８－２＋１＝７， ∴ｎ＝７； ②∵ｍ为点 Ｑ横坐标，点 Ｑ到 ｙ轴的距离小 于１， ∴｜ｍ｜＜１，即－１＜ｍ＜１， ∵二次函数图象的对称轴为直线 ｘ＝１４，开口 向上， 顶点坐标为（ １ ４， ７ ８）， ∴ｙ的最小值为７８， ∵１－１４＜ １ ４－（－１）， ∴当ｘ＝－１时，ｙ取最大值， 即ｙ＝２×（－１）２－（－１）＋１＝４， ∴ｎ的取值范围为７８≤ｎ＜４                                                                    ． ２５ 培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 题 型 突 破 篇 ３．（２０２３解析与检测）已知二次函数 ｙ＝－ｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ图象的顶点坐标为（１，１６）． （１）求ｂ，ｃ的值； （２）是否存在实数ｍ，ｎ（ｍ＜ｎ），使当ｍ≤ｘ ≤ｎ时，二次函数的最小值是４ｍ，最大值是 ４ｎ？若存在，求出 ｍ，ｎ的值；若不存在，请 说明理由． 解：（１）∵二次函数 ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ图象的顶点 坐标为（１，１６）， ∴－ ｂ２×（－１）＝１，∴ｂ＝２， ∴ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋ｃ， 把（１，１６）代入上式得，１６＝－１＋２＋ｃ，∴ｃ＝１５； （２）存在，由（１）知二次函数的解析式为 ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋１５， 分三种情况： ａ．ｎ≤１，有－ｍ２＋２ｍ＋１５＝４ｍ①，－ｎ２＋２ｎ＋１５ ＝４ｎ②，ｍ＜ｎ③， 由①②③解得ｍ＝－５，ｎ＝３＞１，不合题意； ｂ．ｍ≥１，有－ｍ２＋２ｍ＋１５＝４ｎ①，－ｎ２＋２ｎ＋１５ ＝４ｍ②，ｍ＜ｎ③， ①－②得（ｎ－ｍ）（ｍ＋ｎ）＝６（ｎ－ｍ）， 又∵ｎ－ｍ＞０， ∴ｍ＋ｎ＝６， 代入①解得ｍ＝３，ｎ＝３，不合题意； ｃ．若ｍ＜１，ｎ＞１， ∵此时函数的最大值为１６，∴４ｎ＝１６，∴ｎ＝４， ∴当 ｘ＝ｍ时，函数取最小值，则 －ｍ２＋２ｍ＋ １５＝４ｍ， 解得ｍ１＝－５，ｍ２＝３（舍去）， 当ｘ＝ｎ时，函数取最小值，则－ｎ２＋２ｎ＋１５＝４ｍ， 又∵ｎ＝４， ∴－１６＋８＋１５＝４ｍ，解得ｍ＝７４（舍去）， 综上所述，ｍ＝－５，ｎ＝４． ４．（２０２２新乡模拟）如图，已知抛物线ｙ＝－ｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴交于Ａ，Ｂ两点（点Ａ在点Ｂ 的左侧），与ｙ轴交于点Ｃ（０，３），且点Ｏ到 点Ｃ距离是点 Ｏ到点 Ｂ距离的３倍，点 Ｍ 是抛物线上一点，且位于对称轴的左侧，过 点Ｍ作ＭＮ∥ｘ轴交抛物线于点Ｎ． （１）求抛物线的解析式； （２）若点 Ｍ沿抛物线向下移动，使得 ８≤ ＭＮ≤９，求点Ｍ的纵坐标ｙＭ的取值范围； （３）若点Ｐ是抛物线上任意一点，点Ｐ与点 Ａ的纵坐标的差的绝对值不超过３，请直接 写出Ｐ点横坐标ｘＰ的取值范围． 第４题图 解：（１）∵Ｃ（０，３），∴ＯＣ＝３． 又∵ＯＣ＝３ＯＢ，∴ＯＢ＝１， ∴Ｂ（１，０）． ∵Ｂ（１，０），Ｃ（０，３）为抛物线 ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ上的点， ∴将Ｂ（１，０），Ｃ（０，３）代入，得 －１＋ｂ＋ｃ＝０， ｃ＝３{