题型3 二次函数的实际应用-【一战成名新中考】2024河南中考数学·培优册

培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 题 型 突 破 篇 题型三　二次函数的实际应用（１０年３考） 类型１　抛物线型问题（２０２３．２２，２０２２．２１） １．（２０２３洛阳模拟）某地要建造一个圆形喷水 池，在水池中央竖直安装一根水管ＯＡ，Ｏ为 水管与地面的交点，在水管顶端 Ａ处安装 一个喷水头，使喷出的水流在各个方向上 沿形状相同的抛物线路径落下，在过ＯＡ的 任一平面上，以Ｏ为原点，以原点与水流落 地点所在直线为 ｘ轴，以 ＯＡ所在直线为 ｙ 轴，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出 的高度ｙ（ｍ）与水平距离ｘ（ｍ）之间的关系 式是ｙ＝－ｘ２＋ｘ＋２． （１）求水管ＯＡ的高度及喷出的水流距地面 的最大高度； （２）若要使喷出的水流不落在池外，试求水 池的半径至少要多少米． 第１题图 解：（１）∵当ｘ＝０时，ｙ＝２， ∴水管ＯＡ的高度为２ｍ； ∵ｙ＝－ｘ２＋ｘ＋２＝－（ｘ－１２） ２＋９４，ａ＝－１＜０， ∴抛物线开口向下，ｙ有最大值， ∴当ｘ＝１２时，ｙ最大 ＝ ９ ４＝２．２５， ∴喷出的水流距地面的最大高度为２．２５ｍ； （２）当ｙ＝０时，－ｘ２＋ｘ＋２＝０， 解得ｘ１＝－１（不符合题意，舍去），ｘ２＝２， ∴水池的半径至少要２ｍ． ２．（２０２３平顶山模拟）在某场篮球比赛中，运 动员甲在距篮下 ７ｍ的三分线外跳起投 篮，球运行的路线大致是抛物线，当球运行 的水平距离为 ４ｍ时，球达到最大高度 ３．８６ｍ，然后准确落入篮圈，篮圈中心到地 面的距离为３．０５ｍ，建立如图所示的平面 直角坐标系． （１）请求出该抛物线的解析式； （２）另一运动员乙位于运动员甲与原点 Ｏ 之间，且距离甲为０．４ｍ，原地起跳后成功 盖帽拦截运动员甲投出的球，问：运动员乙 起跳后双手达到的高度至少为多少米？ （结果精确到０．０１ｍ） 第２题图 解：（１）由于球运行的水平距离为４ｍ时，球达到 最大高度３．８６ｍ， 则设该抛物线的解析式为ｙ＝ａｘ２＋３．８６（ａ≠０）， 代入（３，３．０５），得９ａ＋３．８６＝３．０５， 解得ａ＝－０．０９， ∴该抛物线的解析式为ｙ＝－０．０９ｘ２＋３．８６； （２）∵４－０．４＝３．６， ∴运动员乙所在位置的横坐标为－３．６， 当ｘ＝－３．６时，ｙ＝－０．０９×（－３．６）２＋３．８６≈ ２．６９， 答：运动员乙起跳后双手达到的高度至少约 为２．６９ｍ                                                                    ． ８４ 培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 题 型 突 破 篇 ３．（２０２３温州）一次足球训练中，小明从球门 正前方８ｍ的 Ａ处射门，球射向球门的路 线呈抛物线．当球飞行的水平距离为 ６ｍ 时，球达到最高点，此时球离地面３ｍ．已知 球门高ＯＢ为２．４４ｍ，现以 Ｏ为原点建立 如图所示直角坐标系． （１）求抛物线的函数表达式，并通过计算判 断球能否射进球门（忽略其他因素）； （２）对本次训练进行分析，若射门路线的形 状、最大高度均保持不变，则当时他应该带 球向正后方移动多少米射门，才能让足球 经过点Ｏ正上方２．２５ｍ处？ 第３题图 解：（１）∵８－６＝２， ∴抛物线的顶点坐标为（２，３）， 设抛物线的函数表达式为ｙ＝ａ（ｘ－２）２＋３， 把点Ａ（８，０）代入得３６ａ＋３＝０， 解得ａ＝－１１２， ∴抛物线的函数表达式为ｙ＝－１１２（ｘ－２） ２＋３； 当ｘ＝０时，ｙ＝－１１２×４＋３＝ ８ ３＞２．４４， ∴球不能射进球门； （２）设小明带球向正后方移动ｍ米，则移动后的抛 物线的函数表达式为ｙ＝－１１２（ｘ－２－ｍ） ２＋３， 把点（０，２．２５）代入得２．２５＝－１１２（０－２－ｍ） ２＋３， 解得ｍ＝－５（舍去）或ｍ＝１， ∴当时他应该带球向正后方移动１米射门，才能 让足球经过点Ｏ正上方２．２５ｍ处． ４．（２０２３陕西）某校想将新建图书楼的正门设 计为一个抛物线型拱门，并要求所设计的 拱门的跨度与拱高之积为４８ｍ２，还要兼顾 美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按 要求给出了两个设计方案．现把这两个方 案中的拱门图形放入平面直角坐标系中， 如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度 ＯＮ＝１２ｍ， 拱高ＰＥ＝４ｍ．其中，点 Ｎ在 ｘ轴上，ＰＥ⊥ ＯＮ，ＯＥ＝ＥＮ． 方案二，抛物线型拱门的跨度ＯＮ′＝８ｍ，拱 高Ｐ′Ｅ′＝６ｍ．其中，点Ｎ′在ｘ轴上，Ｐ′Ｅ′⊥ ＯＮ′，ＯＥ′＝Ｅ′Ｎ′． 要在拱门中设置高为３ｍ的矩形框架，其 面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方 案一中，矩形框架ＡＢＣ