专题18 线段最值问题&专题19 “12345”模型-【一战成名新中考】2024河南中考数学·培优册

培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 模 型  方 法 篇 专题十八　线段最值问题（２０２０．１５） 类 型 １　将军饮马（２０２０．１５） 例　（人教八上Ｐ８５问题１改编）如图，牧马人 从Ａ地出发，到一条水平的河边ｌ饮马，然 后到Ｂ地放牧．牧马人到河边什么地方饮 马，可使所走路径最短，请在图中画出来． 若Ａ，Ｂ两地到河边ｌ的距离分别为１００ｍ， ２００ｍ，Ａ，Ｂ两地的水平距离为４００ｍ，则所 走的最短路径的长为　５００　ｍ． 例题图 例题解图 【点拨】如解图，作点Ａ关于ｌ的对称点Ａ′， 连接Ａ′Ｂ交 ｌ于点 Ｐ，则点 Ｐ即为所求饮 马的地方，过点Ａ′作Ａ′Ｃ∥ｌ，过点Ｂ作ＢＣ ⊥Ａ′Ｃ于点 Ｃ，则△Ａ′ＣＢ为直角三角形， 且Ａ′Ｃ＝４００ｍ，ＢＣ＝２００＋１００＝３００（ｍ）， 进而求得最短路径的长． 归纳总结 类型１　两点一线“同侧和”最小 问题：如图，两定点 Ａ，Ｂ位于直线 ｌ同侧，在 直线ｌ上找一点Ｐ，使得ＰＡ＋ＰＢ的值最小 图示： 作法：作点 Ｂ关于直线 ｌ的对称点 Ｂ′，连接 ＡＢ′交直线ｌ于点Ｐ 总结：同化异，连线定位置 １．如图，在菱形ＡＢＣＤ中，ＢＣ＝２，∠Ｃ＝１２０°， Ｑ为ＡＢ的中点，Ｐ为对角线 ＢＤ上的任意 一点，则ＡＰ＋ＰＱ的最小值为　槡３　． 第１题图 类型２　两点一线“异侧差”最大 问题：如图，两定点 Ａ，Ｂ位于直线 ｌ异侧，在 直线ｌ上找一点Ｐ，使得｜ＰＡ－ＰＢ｜的值最大 图示： 作法：作点 Ｂ关于直线 ｌ的对称点 Ｂ′，连接 ＡＢ′并延长，交直线ｌ于点Ｐ 总结：异化同，延长定位置 ２．如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝８，ＡＣ与 ＢＤ 交于点Ｏ，Ｎ是 ＡＯ的中点，点 Ｍ在 ＢＣ边 上，且 ＢＭ＝６．Ｐ为对角线 ＢＤ上一点，则 ＰＭ－ＰＮ的最大值为　２　． 第２题图 类型３　两线一点周长最小 问题：如图，点Ｐ在∠ＡＯＢ的内部，在ＯＡ上找 一点Ｃ，在 ＯＢ上找一点 Ｄ，使得△ＰＣＤ的周 长最小 图示： 作法：分别作点Ｐ关于射线ＯＡ，ＯＢ的对称点 Ｐ′，Ｐ″，连接Ｐ′Ｐ″，分别交射线ＯＡ，ＯＢ于点Ｃ， Ｄ，△ＰＣＤ周长最小，即最小值为                                                                    Ｐ′Ｐ″ ８３ 培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 模 型  方 法 篇 ３．如图，Ｄ是∠ＦＡＢ内一定点，且ＡＤ＝２，若点 Ｃ、Ｅ分别是射线 ＡＦ、ＡＢ上异于点 Ａ的动 点，且△ＣＤＥ周长的最小值是２，则∠ＦＡＢ 的度数是　３０°　． 第３题图 类型４　两线一点“两线段和”最小 问题：如图，Ｐ是∠ＡＯＢ的边 ＯＢ上一定点， 动点Ｍ，Ｎ分别在 ＯＡ，ＯＢ上，在图中画出点 Ｍ，Ｎ，使得ＰＭ＋ＭＮ最小 图示： 作法：作点 Ｐ关于 ＯＡ的对称点 Ｐ′，过点 Ｐ′ 作Ｐ′Ｎ⊥ＯＢ于点Ｎ，交ＯＡ于点Ｍ ４．如图，Ｍ、Ｎ分别是矩形ＡＢＣＤ的边ＢＣ和对 角线 ＡＣ上的动点，连接 ＡＭ、ＭＮ，ＡＢ＝３， ＢＣ＝４，则ＡＭ＋ＭＮ的最小值为 （　Ｂ　） Ａ．１８５　　　　　　　　Ｂ． ２４ ５ Ｃ．２槡７ Ｄ．５ 第４题图 类型５　两线两点周长最小 问题：如图，点 Ｐ，Ｑ在∠ＡＯＢ的内部，在 ＯＡ 上找一点Ｃ，在ＯＢ上找 一点Ｄ，使得四边形 ＰＱＤＣ的周长最小 图示： 作法：分别作点Ｐ，Ｑ关于射线ＯＡ，ＯＢ的对称 点Ｐ′，Ｑ′，连接Ｐ′Ｑ′交ＯＡ，ＯＢ于点Ｃ，Ｄ ５．如图，在四边形ＡＢＣＤ中，∠Ｃ＝７２°，∠Ｂ＝ ∠Ｄ＝９０°，Ｍ，Ｎ分别是 ＢＣ，ＤＣ上的点，当 △ＡＭＮ的周长最小时，∠ＭＡＮ的度数为 （　Ｂ　） Ａ．７２° Ｂ．３６° Ｃ．１０８° Ｄ．３８° 第５题图 类 型 ２　造桥选址 问题：如图，已知ａ∥ｂ，点Ａ在直线ａ的上方， 点Ｂ在直线 ｂ的下方．在直线 ａ，ｂ上分别找 点Ｍ，Ｎ，使得ＭＮ⊥ａ，且 ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ的值 最小 图示： 作法：作ＡＡ′⊥ａ，ＡＡ′＝ＭＮ，连接Ａ′Ｂ交直线 ｂ于点Ｎ，过点Ｎ作ＭＮ⊥ａ于点Ｍ ６．（优质原创）如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，点 Ｍ，Ｎ在 ＢＤ上，连接 ＡＭ，ＡＮ，若 ＡＢ＝２， ＭＮ＝１，则△ＡＭＮ周长的最小值为　４　． 第６题图                                                                          ９３ 培优册·河南数学 河 南 中 考