专题17 折叠模型-【一战成名新中考】2024河南中考数学·培优册

培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 模 型  方 法 篇 专题十七　折叠模型（１０年８考） 类 型 １　矩形中的折叠（２０２２．２３，２０１９，２０１４．１５） 例１　如图，在矩形ＡＢＣＤ中，点Ｅ在ＤＣ上，将矩形沿ＡＥ折叠，使点Ｄ落在ＢＣ边上的点Ｆ处． 例１题图 若ＡＢ＝３，ＢＣ＝５，则ｔａｎ∠ＤＡＥ的值为 （　Ｄ　） Ａ．１２　　　　　Ｂ． ９ ２０　　　　　Ｃ． ２ ５　　　　　Ｄ． １ ３ 归纳总结 类型 图形 结论 Ｂ′落在矩形 的边上（折 痕ＡＥ） （１）△ＡＢＥ≌△ＡＢ′Ｅ； （２）四边形ＡＢＥＢ′是　正方形　； （３）∠ＢＡＥ＝∠ＢＥＡ＝　４５　°； （４）ＣＥ，ＡＤ，ＡＢ的关系：ＣＥ＝ＡＤ－ＡＢ （１）△ＡＢＥ≌△ＡＢ′Ｅ； （２）Ｋ型图：△ＡＤＢ′∽△Ｂ′ＣＥ； （３）直角三角形（常用勾股定理）：Ｒｔ△ＡＤＢ′，Ｒｔ△Ｂ′ＣＥ Ｂ′落在对角 线上（折痕 ＡＥ） （１）△ＡＢＥ≌△ＡＢ′Ｅ （２）已知ＡＢ，ＢＣ，求ＢＥ的方法： ①在Ｒｔ△ＣＥＢ′中通过勾股定理求； ②利用△ＣＥＢ′∽△ＣＡＢ求 Ｂ′落在对称 轴上（折痕 ＭＮ） （１）∠ＡＢＥ，∠ＥＢＢ′，∠Ｂ′ＢＦ的度数为　３０　°； （２）△ＡＢＢ′和△ＢＥＦ是　等边　三角形； （３）当点Ｆ与点Ｃ重合时，ＡＤＡＢ＝　 ２槡３ ３　 Ｂ′的 轨 迹 为圆 （１）△ＢＥＦ≌△Ｂ′ＥＦ； （２）△ＢＥＦ∽△ＣＢＤ； （３）点Ｂ的轨迹为以Ｅ为圆心 两次折叠 （１）点Ａ，Ｆ，Ｅ三点共线； （２）ＢＧ＝ＦＧ＝ＣＧ，即点Ｇ为ＢＣ的中点； （３）∠ＡＧＥ＝９０°；Ｋ型图：△ＡＢＧ∽△ＧＣＥ； （４）ＧＦ⊥ＡＥ；△ＡＦＧ∽△ＧＦＥ∽△ＡＧＥ ５３ 培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 模 型  方 法 篇 对应点落在对称轴上 １．（２０２２河南２３题节选）如图，对折矩形纸片ＡＢＣＤ，使ＡＤ与ＢＣ重合，得到折痕ＥＦ，在ＡＤ上 选一点Ｐ，沿ＢＰ折叠，使点Ａ落在矩形内部点Ｍ处，当点Ｍ在ＥＦ上时，写出图中一个３０° 的角：　∠ＥＭＢ或∠ＣＢＭ或∠ＡＢＰ或∠ＰＢＭ（任写一个即可）　． 第１题图 　　　　 第２题图 　　　　 第３题图 对应点落在矩形的边上 ２．（２０１９河南１５题改编）如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１，ＢＣ＝ａ，点Ｅ在边ＢＣ上，且ＢＥ＝３５ａ．连 接ＡＥ，将△ＡＢＥ沿ＡＥ折叠，若点Ｂ的对应点Ｂ′落在矩形ＡＢＣＤ的边ＡＤ上，则ａ的值为　５３　． 对应点的轨迹为圆 ３．如图，在矩形纸片 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，ＡＤ＝３，Ｅ是 ＡＢ的中点，Ｆ是 ＡＤ边上的一个动点，将 △ＡＥＦ沿ＥＦ所在直线翻折，得到△Ａ′ＥＦ，则Ａ′Ｃ的长的最小值是 （　Ｄ　） Ａ．槡１３２　　　　　　Ｂ．３　　　　　　Ｃ．槡１３－１　　　　　　Ｄ．槡１０－１ 类 型 ２　三角形中的折叠（２０２１，２０１８－２０１６．１５） 例２　（２０２１河南１５题３分）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图①，在Ｒｔ△ＡＢＣ中， 例２题图 ∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ｂ＝３０°，ＡＣ＝１．第一步，在 ＡＢ边上找一点 Ｄ，将纸片沿ＣＤ折叠，点Ａ落在Ａ′处，如图②；第二步，将纸 片沿ＣＡ′折叠，点Ｄ落在Ｄ′处，如图③．当点Ｄ′恰好落在原 直 角 三 角 形 纸 片 的 边 上 时，线 段 Ａ′Ｄ′的 长 为 　１２或２－槡３　． 【思维点拨】 在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝３０°，∠ＡＣＢ＝９０°，Ｄ是ＡＢ上一点 一次折叠：将△ＡＣＤ沿 ＣＤ折叠后，点 Ａ的 对应点Ａ１落在△ＡＢＣ的边上，需分情况讨论 两次折叠：将△ＡＣＤ沿ＣＤ折叠，点Ａ的对应点为Ａ１， 再沿ＣＡ１折叠，使得点Ｄ′落在△ＡＢＣ的边上，需分情  况讨论 点Ａ１在ＡＢ上 点Ａ１在ＢＣ上 点Ｄ′落在ＡＢ上 点Ｄ′落在ＢＣ上， ＣＤ　垂直平分　ＡＡ１； Ａ１是ＡＢ的　中点　； △ＡＣＡ１是　等边　三 角形 ＣＤ　平分　∠ＡＣＢ ∠ＡＣＤ＝∠ＤＣＡ１＝ ∠Ａ１ＣＤ′＝　１５　°； ＣＡ１与 ＡＢ的位置关系： ＣＡ１⊥ＡＢ ∠ＡＣＤ＝∠ＤＣＡ１＝ ∠Ａ１ＣＤ′＝　３０　°； ＡＤ＝Ａ１Ｄ＝Ａ１Ｄ′＝ １ ２ＡＣ ６３ 培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 模 型  方 法 篇 类 型 ３　正方形中的折叠（２０１５．１５） 例３　（２０２２河南２３题节选）如图，对折正方形纸片ＡＢＣＤ，得到折痕ＥＦ，在ＡＤ上选一点Ｐ，沿 ＢＰ折叠，使点Ａ落在矩形内部点Ｍ处，且点Ｍ在ＥＦ上，延长ＰＭ交ＣＤ于点Ｑ，连接ＢＱ，则 ∠ＭＢＱ＝　１５°　，∠ＣＢＱ＝　１５°　． 例３题图 　　 本题中常见结论归纳： （１）△ＡＢＰ≌ △ＭＢＰ，△ＭＢＱ≌ △ＣＢＱ； （２）∠ＰＱＤ＝２∠ＭＢＱ，∠ＱＰＤ＝２∠ＡＢＰ； （３）∠ＰＢＱ＝４５°； （４）Ａ，Ｂ，Ｍ