专题16 辅助圆问题-【一战成名新中考】2024河南中考数学·培优册

书 培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 模 型  方 法 篇 专题十六　辅助圆问题 （１０年８考） 类 型 １　“定点定长”辅助圆（２０２０．２３，２０１７，２０１４．２２） 例１　（多解法）（２０２０河南２３题改编）如图，将正方形 ＡＢＣＤ的边 ＡＢ绕点 Ａ逆时针旋转至 ＡＢ′，记旋转角为α，连接ＢＢ′，过点Ｄ作ＤＥ垂直直线ＢＢ′，垂足为Ｅ，连接ＤＢ′，ＣＥ． （１）当α＝６０°，点Ｂ′在正方形ＡＢＣＤ内时，∠ＤＢ′Ｅ＝　４５　°； （２）当点Ｂ′在正方形ＡＢＣＤ外时，∠ＤＢ′Ｅ＝　４５　°． （１）解法１：如解图，∵四边形 ＡＢＣＤ为正方形，∴ ＡＢ＝ＡＢ′＝ＡＤ，∴Ｂ，Ｂ′，Ｄ在以 ＡＢ的长为半径，Ａ 为圆心的圆上，进而可推得答案． 解法２点拨：∠ＢＢ′Ａ＝６０°，∠ＡＢ′Ｄ＝７５°，进而可推 得答案． （２）解法同理． 　 例１题图 　 例１解图 归纳总结 等距成圆 旋转成圆 斜边中点圆 圆上动点与定 点的中点轨迹 Ｍ是ＡＢ中点， Ｎ是ＯＡ中点 圆心为点Ｏ； 半径为ｒ 圆心为点Ａ； 半径为　ＡＣ　 圆心为点Ｏ； 半径为　１２ＡＢ　 圆心为点Ｎ； 半径为　１２ＯＢ　 斜边中点圆 １．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＡＤ＝８，点Ｅ，Ｆ分别在ＡＢ，ＡＤ上，且ＥＦ＝６，Ｍ是ＥＦ的中点， 连接ＣＭ，则ＣＭ的最小值为　７　． 第１题图 　　　　　 第２题图 旋转成圆 ２．（优质原创）在Ｒｔ△ＡＢＣ和Ｒｔ△ＤＣＦ中，∠ＡＣＢ＝∠ＤＦＣ＝９０°，∠ＡＢＣ＝３０°，∠ＤＣＦ＝４５°，Ｏ 为ＡＢ的中点，连接 ＯＤ．若 ＣＦ＝ＢＣ＝３，将△ＤＣＦ绕点 Ｃ旋转，则线段 ＯＤ的最小值为 　３槡２－槡３　． １３ 培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 模 型  方 法 篇 圆上动点与定点的中点轨迹 ３．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝８，ＢＣ＝６，点 Ｐ是平面内一个动点，且 ＡＰ＝３，Ｑ为 ＢＰ的中点，在Ｐ点运动过程中，则线段ＣＱ长度的最小值为 　７２　． 第３题图 等距成圆 ４．如图，ＡＢ＝ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ，则∠ＡＣＢ的度数是　３０°　． 第４题图 ５．（优质原创）如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，连接 ＡＣ，ＢＤ，已知 ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ，∠ＢＤＣ＝ ４５°，ＢＣ＝６ｃｍ，则Ｓ四边形ＡＢＣＤ＝　（９＋ ９槡２ ２）　ｃｍ ２． 第５题图 类 型 ２　“定角定弦”辅助圆（２０２３．２３，２０１４．２２） 例２　如图，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，ＢＣ＝６，则△ＡＢＣ面积的最大值为　９　． 　 例２题图 　　 题中，ＢＣ为定长，∠Ａ为定角， 此模型称为“定角定弦”模型． 归纳总结 类型 ９０°（垂直）型 ６０°或１２０°型 ４５°或１３５°型 ３０°或１５０°型 图示 关键点：确定隐 圆 的 圆 心 和 半径 ①ＡＢ的中点为隐 圆圆心Ｏ； ②半径为　１２　ＡＢ ①在 ＡＢ上方确定 隐圆圆心 Ｏ，满足 ∠ＯＡＢ ＝ ∠ＯＢＡ ＝３０°； ②⊙Ｏ半径为　槡３３　 ＡＢ ①在 ＡＢ上方，以 ＡＢ为斜边作等腰 直角三角形 ＡＯＢ， 定隐圆圆心Ｏ； ②⊙Ｏ半径为 　 　 槡２ ２　ＡＢ ①在 ＡＢ上方，以 ＡＢ为边作等边三 角形，定隐圆圆 心Ｏ； ②⊙Ｏ半径为ＡＢ ２３ 培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 模 型  方 法 篇 ６．（优质原创）如图，在平面直角坐标系中，点Ａ（０，１），点Ｂ（０，－２），点Ｃ是ｙ轴右侧平面内一 点．请按要求画出点Ｃ的轨迹． （１）在图①中画∠ＡＣＢ＝９０°； （２）在图②中画∠ＡＣＢ＝６０°； （３）在图③中画∠ＡＣＢ＝３０°； （４）在图④中画∠ＡＣＢ＝４５°，若点Ｃ在ｘ轴上，则点Ｃ的坐标为　（３＋槡１７２ ，０）　． 图① 　　 图② 　　 图③ 　　 图④ 第６题图 类 型 ３　“四点共圆”辅助圆（２０２３．２３，２０２２，２０１９，２０１８，２０１５，２０１４．２２） 例３　（２０２３解析与检测）如图，在四边形ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ＝９０°，Ｅ为对角线ＡＣ的中 点，连接ＢＥ，ＥＤ，ＢＤ．若∠ＢＡＤ＝５８°，则∠ＥＢＤ的度数为　３２　度． 例３题图 【点拨】∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ＝９０°，则Ａ，Ｄ，Ｃ，Ｂ四点共圆． 归纳总结 双９０°型 定线段同侧两角相等 对角互补四边形 ＡＢ＝ａ，∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ＝９０°，则点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ 共圆，圆心是　ＡＢ的中点　，半径是　１２　ａ Ｃ，Ｄ在 ＡＢ同 侧， ∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ，则 点Ａ，Ｃ，Ｄ，Ｂ共圆 四边形 ＡＢＣＤ中，∠Ａ＋ ∠Ｃ＝１８０°，则点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ 共圆 ７．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＢＣ，ＡＢ⊥ＢＣ．Ｐ是△ＡＢＣ外任意一点，满足∠ＡＰＣ＝９０°，连接ＢＰ， 若∠ＡＢＰ＝２５°，则∠ＰＡＣ＝　６５