专题15 点圆、线圆最值问题-【一战成名新中考】2024河南中考数学·培优册

培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 模 型  方 法 篇 专题十五　点圆、线圆最值问题（１０年２考） 类 型 １　点圆最值问题（２０２２．１５，２０１７．２２） Ⅰ．模型结构：圆上动点Ｐ与圆所在平面内定点Ａ之间距离的最值问题． Ⅱ．模型构图及解决方案（⊙Ｏ半径为ｒ） 定点Ａ在圆内 定点Ａ在圆上 定点Ａ在圆外 图示 解决 方案 “一箭穿心”定交点Ｐ，“近点”有最小值，“远点”有最大值．  本质是直径是最长的弦 最大值 ｒ＋ＯＡ（即ＡＰ２） ２ｒ ｒ＋ＯＡ（即ＡＰ２） 最小值 ｒ－ＯＡ（即ＡＰ１） ０ ＯＡ－ｒ（即ＡＰ１） １．在平面直角坐标系中，点Ａ（－４，０），点Ｂ（０，２），以ＡＢ为直径作⊙Ｍ． （１）如图①，Ｃ是⊙Ｍ内一点，坐标为（－２，２），点Ｄ在圆上，则ＣＤ的最小值为　 　 槡５－１　； 图① 　　　 图② 　　　 图③ 第１题图 （２）如图②，Ｃ是⊙Ｍ上一点，坐标为（－２，槡５＋１），点Ｄ在圆上，则ＣＤ的最大值为　２ 　 槡５　； （３）如图③，Ｃ是⊙Ｍ外一点，坐标为（－２，４），点Ｄ在圆上，则ＣＤ的最小值为　３－ 　 槡５　，ＣＤ的 最大值为　３＋　槡５　． 类 型 ２　过圆内一定点（非圆心）的弦的最值问题 已知半径为ｒ的⊙Ｏ内一定点Ａ，ＭＮ为过点Ａ的弦，确定ＭＮ的最值，设ＯＡ＝ｄ 图示 ＭＮ最值 ＭＮ最大 ＝２ｒ ＭＮ最小 ＝２ ｒ ２－ｄ槡 ２ ８２ 培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 模 型  方 法 篇 ２．如图，⊙Ｏ的半径为１０，若ＯＰ＝８，则经过点Ｐ的弦长可能是 （　Ｃ　） 第２题图 Ａ．１０ Ｂ．６ Ｃ．１９ Ｄ．２２ 类 型 ３　线圆最值问题 Ⅰ．模型结构：圆上动点Ｐ到直线ＡＢ距离的最值问题 Ⅱ．模型构图及解决方案（⊙Ｏ半径为ｒ，圆心Ｏ到直线ＡＢ的距离为ｄ） 直线ＡＢ与⊙Ｏ相离 直线ＡＢ与⊙Ｏ相切 直线ＡＢ与⊙Ｏ相交 图示 解决方案 过点Ｏ作ＡＢ的垂线，交⊙Ｏ于点Ｐ，交直线ＡＢ于点Ｃ 最大值 ｄ＋ｒ ２ｒ ｄ＋ｒ ｒ－ｄ 最小值 ｄ－ｒ ０ ０ ３．如图，ＡＢ是⊙Ｏ的弦，Ｃ是优弧 ) ＡＢ上一点，连接ＡＣ、ＢＣ，若⊙Ｏ的半径为４，∠ＡＣＢ＝６０°，则 △ＡＢＣ面积的最大值为　１２槡３　． 第３题图 ４．（优质原创）如图，∠ＡＢＣ＝６０°，点Ｏ在射线ＢＣ上，ＯＢ＝４，以Ｏ为圆心在ＢＣ的上方作半径 为１的半圆，点Ｍ，Ｎ分别是射线ＢＡ，半圆上的动点，连接ＭＮ，则ＭＮ的最小值为　２槡３－１　． 第４题图 类 型 ４　线上一点向圆作切线，切线长最值问题 问题：⊙Ｏ的半径为ｒ，点 Ｏ到直线 ｌ的距离为 ｄ（ｄ＞ｒ），点 Ｍ是ｌ上一动点，ＭＮ切⊙Ｏ于点Ｎ，求ＭＮ的最小值 思路：连接ＯＭ，ＯＮ，ＭＮ是⊙Ｏ的切线，则ＯＮ⊥ＭＮ，则ＭＮ２＝ 　ＯＭ２－ｒ２　，即当　ＯＭ　最小时，ＭＮ最小，此时 ＯＭ 　⊥　ｌ（填位置关系），ＯＭ＝　ｄ　，则 ＭＮ的最小值为 　 ｄ２－ｒ槡 ２　 → ９２ 培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 模 型  方 法 篇 ５．在平面直角坐标系中，点Ａ（１，０），点Ｍ（０，１），以Ｍ为圆心，ＭＡ为半径画圆，交ｘ轴于另一 点Ｂ． （１）如图①，Ｃ是ＡＢ上方圆弧上的动点，连接ＡＣ，ＢＣ，则Ｓ△ＡＢＣ的最大值为　槡２＋１　； （２）如图②，Ｄ是直线ｘ＝２上一点，Ｃ是ＡＢ上方圆弧上一点，ＣＤ与⊙Ｍ相切，则ＣＤ的最小 值为　槡２　． 图① 　　　　 图② 第５题图 针对训练 １．（优质原创）如图，ＡＢ是⊙Ｏ的弦，Ｃ是优弧 ) ＡＢ上一动点，连接 ＡＣ，ＢＣ，Ｍ，Ｎ分别是 ＡＢ，ＢＣ 的中点，连接ＭＮ． （１）若ＭＮ取得最大值，则点Ｏ在线段　ＡＣ　上； （２）若ＡＢ＝８，∠ＡＣＢ＝４５°，则ＭＮ的最大值为　４槡２　． 第１题图 　　　　　 第２题图 ２．如图，⊙Ｍ的半径为４，圆心Ｍ的坐标为（６，８），Ｐ是⊙Ｍ上任意一点，ＰＡ⊥ＰＢ，且ＰＡ、ＰＢ与 ｘ轴分别交于Ａ、Ｂ两点，若点Ａ、Ｂ关于原点Ｏ对称，则ＡＢ的最大值为 （　Ｄ　） 　 　 　　　 　　　　　 　 　　 　　　　　　 　 　　　 　　　　Ａ．１３ Ｂ．１４ Ｃ．１２ Ｄ．２８ ３．如图，在平面直角坐标系中，Ａ（６，０），Ｂ（０，８），点Ｃ在ｘ轴正半轴上，点Ｄ在ｙ轴正半轴上， 且ＣＤ＝６，以 ＣＤ为直径在第一象限作半圆，交线段 ＡＢ于点 Ｅ、Ｆ，则线段 ＥＦ的最大值 为　４．８　． 第３题图 　　　 第４题图 ４．（多解法）如图，正方形 ＡＢＣＤ的边长为４，⊙Ｏ的半径为１．若⊙Ｏ在正方形 ＡＢＣＤ内平移 （⊙Ｏ可以与该正方形的边相切），则点Ａ到⊙Ｏ上的点的距离的最大值为　３槡２＋１　． ０３ 一战成名·河南数学 培 优 册 ∴△ＡＤＦ∽△ＥＣＦ，∴ＤＦＣＦ＝ ＡＤ ＣＥ＝３； 图① 　　　 图② 第