专题14 相似—手拉手-【一战成名新中考】2024河南中考数学·培优册

培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 模 型  方 法 篇 专题十四　相似———手拉手（２０２０．２３；２０１９，２０１８．２２） 例１　在△ＡＢＣ和△ＡＤＥ中，∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ＝９０°，∠Ｂ＝∠ＡＤＥ，Ｂ，Ｄ，Ｃ三点共线， 求证：ＣＥ⊥ＢＣ． 例１题图 证明：∵∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ，∠Ｂ＝∠ＡＤＥ， ∴△ＢＡＣ∽△ＤＡＥ， ∴ＡＢＡＤ＝ ＡＣ ＡＥ， ∴ＡＢＡＣ＝ ＡＤ ＡＥ， 又∵∠ＢＡＣ－∠ＤＡＣ＝∠ＤＡＥ－∠ＤＡＣ， ∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ， ∴△ＢＡＤ∽△ＣＡＥ， ∴∠Ｂ＝∠ＡＣＥ， ∵∠ＢＡＣ＝９０°， ∴∠Ｂ＋∠ＡＣＢ＝９０°， ∴∠ＡＣＥ＋∠ＡＣＢ＝９０°， ∴∠ＢＣＥ＝９０°， ∴ＣＥ⊥ＢＣ． 归纳总结 类型 基本图形 常用结论 等腰三 角形 图①中，ＡＢ＝ＡＣ，ＤＥ∥ＡＣ，∠Ｂ为锐角，将 △ＤＢＥ绕点Ｂ逆时针旋转α度得到图② △ＢＡＤ∽△ＢＣＥ，ＡＤＡＢ＝ ＣＥ ＢＣ； △ＡＭＯ∽△ＣＭＢ，ＡＭＣＭ＝ ＭＯ ＭＢ； △ＯＢＭ∽△ＡＣＭ； ∠ＡＯＣ＝∠ＡＢＣ 等腰直角 三角形 图③中，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ａ＝９０°，ＤＥ∥ＡＣ，将△ＤＢＥ 绕点Ｂ逆时针旋转α度得到图④ △ＢＡＤ∽△ＢＣＥ； ＡＤ ＣＥ＝ 槡２ ２； ∠ＡＯＣ＝４５° 含３０°直角 三角形 图⑤中，∠Ａ＝９０°，∠Ｂ＝３０°，ＤＥ∥ＡＣ，将 △ＢＤＥ绕点Ｂ逆时针旋转α度得到图⑥ △ＢＡＤ∽△ＢＣＥ； ＡＤ ＣＥ＝ 槡３ ２； ∠ＡＯＣ＝３０° ４２ 培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 模 型  方 法 篇 总结：非等腰，共顶点，顶角相等，旋转得相似． 例２　（多解法）如图，在四边形ＡＢＣＤ中，∠ＡＤＣ＋∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＣ⊥ＡＢ，若ＡＤ＝ｍ，ＣＤ＝ｎ， ＡＢ＝２ＡＣ，连接ＢＤ，求ＢＤ的长．（用含ｍ，ｎ的代数式表示） 例２题图 【点拨】要求ＢＤ的长，结合题意中ＡＢ，ＡＣ的关系，从而考虑将ＢＤ转化在对应的直角三角形 中，可通过“旋转六法”将对应的三角形按比例放缩，构造“手拉手”模型求解． 解法１点拨：将△ＡＢＣ绕点Ｂ顺时针旋转使得ＢＣ落在ＢＤ上． 解法１：绕点Ｂ旋转△ＡＢＣ． 解：如解图，将△ＡＢＣ绕点 Ｂ顺时针旋转使得 ＢＣ落在 ＢＤ上，再将其放大得到△ＢＤＥ，则△ＢＤＥ ∽△ＢＣＡ． ∵ＡＣ⊥ＡＢ，∴∠ＡＣＢ＋∠ＡＢＣ＝９０°， ∵∠ＡＤＣ＋∠ＡＢＣ＝９０°，∴∠ＡＤＣ＝∠ＡＣＢ． 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∵ＡＢ＝２ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°， 易得 ＡＣ ＢＣ＝ １ 槡５ ， ＡＢ ＢＣ＝ ２ 槡５ ， ∵△ＢＤＥ∽△ＢＣＡ，∴∠ＣＢＡ＝∠ＤＢＥ，∴∠ＣＢＤ＝∠ＡＢＥ，∵ＡＢＢＣ＝ ＥＢ ＢＤ＝ ２ 槡５ ， ∴△ＢＥＡ∽△ＢＤＣ，∴ＡＥＤＣ＝ ＡＢ ＢＣ＝ ２ 槡５ ，∠ＥＡＢ＝∠ＤＣＢ，∴ＡＥ＝２ｎ 槡５ ． ∵∠ＤＣＢ＋∠ＤＡＣ＝∠ＤＣＡ＋∠ＡＣＢ＋∠ＤＡＣ＝∠ＤＣＡ＋∠ＡＤＣ＋∠ＤＡＣ＝１８０°， ∴∠ＤＡＣ＋∠ＥＡＢ＝１８０°，∴∠ＥＡＤ＋∠ＢＡＣ＝１８０°， ∵∠ＢＡＣ＝９０°，∴∠ＥＡＤ＝９０°， 例２题解图 ∴在 Ｒｔ△ＤＡＥ 中，由 勾 股 定 理 得 ＤＥ ＝ ＡＤ２＋ＡＥ槡 ２ ＝ ｍ２＋（２ｎ 槡５ ） 槡 ２ ＝ ｍ２＋４ｎ ２ 槡 ５ ， 又∵△ＢＤＥ∽△ＢＣＡ，∴ＢＤＤＥ＝ ＢＣ ＡＣ＝槡５， ∴ＢＤ＝槡５ＤＥ＝ ５ｍ ２＋４ｎ槡 ２． 【其他解法思路和图形展示】 解法２：绕点Ｂ旋转△ＡＢＣ 将△ＡＢＣ绕点 Ｂ逆时针旋转并放大得到△ＤＢＥ， 使得△ＤＢＥ∽△ＡＢＣ，可得∠ＤＣＥ＝９０°，ＣＥ＝ 槡５ ２ＡＤ，ＢＤ＝２ＤＥ 解法３：绕点Ａ旋转△ＡＢＣ 将△ＡＢＣ绕点Ａ顺时针旋转放大得到△ＡＤＥ， 使得△ＡＤＥ∽△ＡＣＢ，可得 ＤＥ＝槡５ＡＤ，ＢＥ＝ ２ＣＤ，∠ＤＥＢ＝９０° ５２ 培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 模 型  方 法 篇 解法４：绕点Ａ旋转△ＡＢＣ 将△ＡＢＣ绕点 Ａ逆时针旋转并缩小得到△ＡＤＥ， 使得△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ，可得 ＤＥ＝槡５２ＡＤ，∠ＣＤＥ＝ ９０°，△ＡＥＣ∽△ＡＤＢ 解法５：绕点Ｃ旋转△ＡＢＣ 将△ＡＣＢ绕点 Ｃ逆时针旋转并缩小得到 △ＥＣＤ，使得△ＣＤＥ∽△ＣＢＡ，可得 ＤＥ＝ ２槡５ ５ＣＤ，∠ＡＤＥ＝９０°，△ＣＡＥ∽△ＣＢＤ 解法６：绕点Ｃ旋转△ＡＢＣ 将△ＡＣＢ绕点 Ｃ逆时针旋转并放大得到△ＣＤＥ， 使得△ＣＤＥ∽△ＣＡＢ，可得ＤＥ＝２ＣＤ，ＢＥ＝槡５ＡＤ， ∠ＤＥＢ＝９０° 解法７：绕点Ａ旋转△ＡＤＣ 将△ＡＤＣ绕点 Ａ逆时针旋转并放大得到 △ＡＢＥ，可得∠ＥＢＣ＝９０°，△ＡＣＥ∽△ＡＤＢ 【温馨提示】将△ＡＤＣ绕三个顶点旋转，仍含有６种不同解法，解法７是其中的一种．此外，在此 题中，易得∠ＡＤＣ＝∠ＡＣＢ，故可考虑构造“一线三等角”． 针对训练 １．如图