专题12 相似—作平行构造相似&专题13 相似—线三等角-【一战成名新中考】2024河南中考数学·培优册

培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 模 型  方 法 篇 专题十二　相似———作平行构造相似 例　（多解法）（２０２３仙桃）如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，点Ｄ在边ＡＣ上，且 ＢＤ平分△ＡＢＣ的周长，则ＢＤ的长是 （　Ｃ　） Ａ．槡５　　　　　　Ｂ．槡６　　　　　　Ｃ． ６槡５ ５　　　　　　Ｄ． ３槡６ ４ 例题图 模型思维 解法１：过点 Ｄ作 ＤＥ∥ＡＢ，构造相 似三角形 解法２：过点 Ｃ作 ＢＤ的平 行线交 ＡＢ延长线于点 Ｅ， 构造相似三角形 解法３：过点 Ｃ作 ＡＢ的平行 线交ＢＤ延长线于点 Ｅ，构造 相似三角形 【题后反思】你还能想到哪些其他方法？请和你的同学一起讨论分享． 针对训练 １．（２０２２焦作模拟）如图，ＢＥ是△ＡＢＣ的中线，点Ｆ在ＢＥ上，延长ＡＦ交ＢＣ于点Ｄ，若ＢＦ＝ ３ＥＦ，则ＢＤＤＣ＝ （　Ｂ　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．４３ Ｂ． ３ ２ Ｃ． ６ ５ Ｄ． ２ ３ 第１题图 ２．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１０，ＢＣ＝１２，Ｄ是ＢＣ上一点，ＢＤ＝ＡＤ，ＢＥ平分∠ＡＢＣ交ＡＣ，ＡＤ 分别于点Ｅ，Ｆ，则ＡＦ的长为　５０１１　． 第２题图 ２２ 培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 模 型  方 法 篇 专题十三　相似———一线三等角 （２０２２．２２，２０１９．１５，２０１７．２３，２０１６．１５） 例　（２０１６河南１５题改编）如图，已知ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ⊥ＢＣ，ＡＢ＝３，Ｅ为射线ＢＣ上一个动点，连 接ＡＥ，将△ＡＢＥ沿ＡＥ折叠，点Ｂ落在点 Ｂ′处，过点 Ｂ′作 ＡＤ的垂线，分别交 ＡＤ，ＢＣ于点 Ｍ，Ｎ．当ＮＢ′＝１３ＭＮ时，ＢＥ的长为　 ３槡５ ５　． 例题图 归纳总结 辅助线方法 图形 结论 遇“非等腰直角三角形”作 “三垂直”构造相似 　　 △ＡＢＤ∽△ＤＥＣ 遇一直线上有两个等角构 造相似 （∠１＝∠２＝∠３） △ＡＢＤ∽△ＥＤＣ 针对训练 １．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝９０°，ＡＢ＝６，ＢＣ＝１２，点Ｄ在ＢＣ上，ＢＤ＝３，连接 ＡＤ，过点 Ｄ作 ＤＥ⊥ＡＤ交ＡＣ于点Ｅ，则ＡＥ＝　１５槡５４　． 第１题图 　　　 第２题图 　　　 第３题图 ２．（２０２３周口市模拟节选）如图，在ＡＢＣＤ中，Ｅ为边ＢＣ上一点，Ｆ为边ＡＢ上一点．若∠ＤＥＦ＝ ∠Ｂ，ＡＢ＝１０，ＢＥ＝６，则ＥＦＤＥ的值为　 ３ ５　． ３．（多解法）如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＢＣ＝５，点 Ｅ在对角线 ＡＣ上，连接 ＢＥ，且 ＢＥ＝ ２．７，过点Ｅ作 ＥＦ⊥ＢＥ，交ＤＣ边于点 Ｆ，则ＥＦ＝　４．５　． ３２ 一战成名·河南数学 培 优 册 ２．３６　【解析】解法１：旋转法．如解图①，将△ＡＥＣ绕点 Ａ 顺时针方向旋转９０°得到△ＡＦＢ，连接 ＤＦ，∵ＡＢ＝ＡＣ， ∠ＢＡＣ＝９０°，∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝４５°，由旋转的性质可 得△ＡＥＣ≌△ＡＦＢ，∴∠ＡＢＦ＝∠ＡＣＤ＝４５°，∠ＢＡＦ＝ ∠ＣＡＥ，ＡＥ＝ＡＦ，ＢＦ＝ＣＥ，∴∠ＦＢＥ＝∠ＦＢＡ＋∠ＡＢＣ＝ ４５°＋４５°＝９０°，∴ＢＤ２＋ＢＦ２＝ＤＦ２，∵∠ＤＡＥ＝４５°，∴ ∠ＢＡＤ＋∠ＣＡＥ＝４５°，∴∠ＢＡＤ＋∠ＢＡＦ＝４５°，∴ ∠ＤＡＥ ＝ ∠ＤＡＦ， 在 △ＤＡＥ 和 △ＤＡＦ 中， ＡＥ＝ＡＦ， ∠ＤＡＥ＝∠ＤＡＦ， ＡＤ＝ＡＤ{ ， ∴△ＤＡＥ≌△ＤＡＦ（ＳＡＳ），∴ＤＥ＝ ＤＦ，∴ＢＤ２＋ＢＦ２＝ＤＥ２，∵ＢＤ＝３，ＣＥ＝４，∴ＤＦ＝ＤＥ＝ ３２＋４槡 ２＝５，∴ＢＣ＝ＢＤ＋ＤＥ＋ＣＥ＝３＋５＋４＝１２，∴ ＡＢ＝ＡＣ＝１２×槡２２ 槡＝６２，∴△ＡＢＣ的面积为 １ ２ 槡×６２× 槡６２＝３６． 图① 　　 图② 第２题解图 解法２：翻折法．如解图②，将△ＡＣＥ和△ＡＢＤ分别沿 ＡＥ，ＡＤ翻折，∵∠ＣＡＥ＋∠ＢＡＤ＝９０°－∠ＥＡＤ＝４５°＝ ∠ＥＡＤ，ＡＢ＝ＡＣ，∴ＡＢ，ＡＣ翻折后重合在 ＡＭ上，∴ＭＤ ＝ＢＤ，ＣＥ＝ＥＭ，∵∠Ｂ＝∠Ｃ＝４５°，∴∠ＥＭＤ＝∠ＥＭＡ ＋∠ＤＭＡ＝９０°，∴ＥＭ２＋ＭＤ２＝ＥＤ２，∴ＤＥ＝ ３２＋４槡 ２ ＝５，∴ＢＣ＝ＢＤ＋ＤＥ＋ＣＥ＝３＋５＋４＝１２，∴ＡＢ＝ＡＣ＝ １２×槡２２ 槡＝６２，∴△ＡＢＣ的面积为 １ ２ 槡 槡×６２×６２＝３６． ３．（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴∠ＡＤＢ＝４５°，ＡＤ∥ＢＣ， ∵ＤＡ＝ＤＧ，∴∠ＤＡＧ＝∠ＤＧＡ＝６７．５°， ∵ＡＤ∥ＢＣ， ∴∠ＤＡＧ＝∠ＢＦＧ， ∵∠ＢＧＦ＝∠ＤＧＡ，∴∠ＢＧＦ＝∠ＢＦＧ＝６７．５°，∴ＢＧ ＝ＢＦ． ∵∠ＥＡＦ＝４５°，∠ＢＡＤ＝９０°， ∴∠ＥＡＢ＝∠ＢＡＦ＝２２．５°，∴ＢＥ＝ＢＦ＝ＢＧ； （２）解：由作图知△ＡＢＯ是等腰直