专题10 全等—对角互补模型&专题11 全等—半角模型-【一战成名新中考】2024河南中考数学·培优册

培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 模 型  方 法 篇 专题十　全等———对角互补模型 例　（多解法）如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ，∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ＝９０°，连接ＡＣ，若ＡＣ＝６，则 四边形ＡＢＣＤ的面积为　１８　． 例题图 归纳总结 类型 双９０°对角互补 ６０°，１２０°对角互补模型 图示 （ＡＤ＝ＣＤ） （ＡＤ＝ＣＤ） 作法 作垂直构全等 旋转构等腰直角三角形 作垂直构全等 旋转构等边三角形 结论 ①△ＡＥＤ≌△ＣＦＤ ②四边形 ＢＥＤＦ是 正方形 ③ ＢＣ－ＣＦ＝ＡＢ ＋ＣＦ ①△ＤＡＢ≌△ＤＣＧ ②△ＢＤＧ是等腰直角三 角形，ＤＢ＝ＤＧ ③ＡＢ＋ＢＣ＝槡２ＢＤ ① △ＡＥＤ≌△ＣＦＤ ②△ＤＥＦ是等边三 角形 ③ＢＣ＝ＡＢ＋２ＣＦ ①△ＤＡＢ≌△ＤＣＧ ②△ＢＤＧ是等边三 角形 ③ＡＢ＋ＢＣ＝ＢＤ 针对训练 １．（２０２３大连）如图，在△ＡＢＣ和△ＡＤＥ中，延 长ＢＣ交ＤＥ于Ｆ．ＢＣ＝ＤＥ，ＡＣ＝ＡＥ，∠ＡＣＦ＋ ∠ＡＥＤ＝１８０°．求证：ＡＢ＝ＡＤ． 第１题图 证明：∵∠ＡＣＢ＋∠ＡＣＦ ＝∠ＡＣＦ＋∠ＡＥＤ＝１８０°， ∴∠ＡＣＢ＝∠ＡＥＤ， 在△ＡＢＣ和△ＡＤＥ中， ＢＣ＝ＤＥ， ∠ＡＣＢ＝∠ＡＥＤ， ＡＣ＝ＡＥ { ， ∴△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ（ＳＡＳ），∴ＡＢ＝ＡＤ． ２．（多解法）如图，等边三角形 ＡＢＣ的边长为 ４，Ｄ是边ＡＣ的中点，Ｅ在边ＡＢ上，ＢＥ＝１， 点 Ｆ在边 ＢＣ的延长线上，且∠ＥＤＦ＝ １２０°，则ＣＦ的长为　１　． 第２题图                    ９１ 培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 模 型  方 法 篇 专题十一　全等———半角模型 例　（２０２３新乡模拟）如图，在正方形ＡＢＣＤ中，点Ｍ，Ｎ为边ＢＣ和ＣＤ上的动点（不含端点）， 若ＡＢ＝槡２，∠ＭＡＮ＝４５°，则△ＭＮＣ的周长是 （　Ｃ　） Ａ．槡２　　　　　　　Ｂ．２　　　　　　　Ｃ．２槡２　　　　　　　Ｄ．３ 例题图 归纳总结 类 型 １　等腰直角三角形中含半角 基本 图形 （△ＡＢＣ为等腰直角三角形，∠ＢＡＣ＝９０°） 作法１ 将△ＡＢＤ逆时针旋转９０° 结论： △ＡＤＥ≌△ＡＦＥ； ∠ＥＣＦ＝９０°； ＢＤ２＋ＣＥ２＝ＣＦ２＋ＣＥ２＝ＥＦ２＝ＤＥ２ 作法２ 将△ＡＢＤ，△ＡＣＥ分别翻折，Ｂ，Ｃ在点Ｆ处重合 结论： ＢＤ＝ＤＦ，ＣＥ＝ＥＦ； ∠ＤＦＥ＝９０°； ＢＤ２＋ＣＥ２＝ＤＦ２＋ＥＦ２＝ＤＥ２ 类 型 ２　正方形中含半角 基本 图形 （四边形ＡＢＣＤ为正方形，ＤＧ⊥ＥＦ） 作法 将△ＡＤＥ绕点Ｄ逆时针旋转９０° 结论： △ＤＥＦ≌△ＤＭＦ； ＤＣ＝ＤＧ； ＥＦ＝ＭＦ＝ＣＭ＋ＣＦ＝ＡＥ＋ＣＦ ０２ 培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 模 型  方 法 篇 针对训练 １．（２０２３重庆 Ａ卷）如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，点 Ｅ，Ｆ分别在 ＢＣ，ＣＤ上，连接 ＡＥ，ＡＦ，ＥＦ， ∠ＥＡＦ＝４５°．若∠ＢＡＥ＝α，则∠ＦＥＣ一定等于 （　Ａ　） 　 　 　 　 　 　 　　　 　　 　 　　 　 　　 　 　　 　 　　 　Ａ．２α Ｂ．９０°－２α Ｃ．４５°－α Ｄ．９０°－α 第１题图 ２．（多解法）如图，在等腰直角三角形 ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，Ｄ，Ｅ是斜边 ＢＣ上两点，∠ＤＡＥ＝ ４５°，ＢＤ＝３，ＣＥ＝４，则三角形ＡＢＣ的面积为　３６　． 第２题图 ３．（优质原创）如图，在正方形ＡＢＣＤ中，点Ｅ在ＣＢ的延长线上，点Ｆ在ＢＣ上，∠ＥＡＦ＝４５°， ＡＦ交ＢＤ于点Ｇ，连接ＥＧ． （１）如图①，当ＤＡ＝ＤＧ时，求证：ＢＥ＝ＢＧ； （２）在求∠ＡＥＧ的度数时，小明发现：∠ＥＢＧ＋∠ＥＡＧ＝１８０°，则点 Ａ，Ｅ，Ｂ，Ｇ共圆，从而 ∠ＡＥＧ＝∠ＡＢＧ＝４５°．小芳说：不用四点共圆也可以，只需证明△ＡＥＧ是等腰直角三角形．要 证△ＡＥＧ是等腰直角三角形，可以再构造与△ＡＥＧ共锐角顶点 Ａ的等腰直角三角形，如图 ②，连接ＡＣ交ＢＤ于点Ｏ，证明ＡＥ∶ＡＧ＝ＡＢ∶ＡＯ．请结合小芳的思路，求∠ＡＥＧ的度数． 图① 　　　　 图② 第３题图 （１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴∠ＡＤＢ＝４５°，ＡＤ∥ＢＣ， ∵ＤＡ＝ＤＧ，∴∠ＤＡＧ＝∠ＤＧＡ＝６７．５°， ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＤＡＧ＝∠ＢＦＧ， ∵∠ＢＧＦ＝∠ＤＧＡ，∴∠ＢＧＦ＝∠ＢＦＧ＝６７．５°，∴ＢＧ＝ＢＦ． ∵∠ＥＡＦ＝４５°，∠ＢＡＤ＝９０°，∴∠ＥＡＢ＝∠ＢＡＦ＝２２．５°，∴ＢＥ＝ＢＦ＝ＢＧ； （２）解：由作图知△ＡＢＯ是等腰直角三角形，∠ＡＯＢ＝９０°，∠ＢＡＯ＝４５°＝∠ＥＡＦ，ＡＯＡＢ＝ 槡２ ２， ∴∠ＥＡＢ＝∠ＧＡＯ，∠ＥＢＡ＝∠ＧＯＡ， ∴△ＡＢＥ∽△ＡＯＧ，∴Ａ