专题9 全等手拉手-【一战成名新中考】2024河南中考数学·培优册

培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 模 型  方 法 篇 专题九　全等———手拉手 （２０１９，２０１７，２０１６，２０１４．２２） 例　（２０１８河南２２题改编）如图，在△ＯＡＢ和△ＯＣＤ中，ＯＡ＝ＯＢ，ＯＣ＝ＯＤ，∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ，连 接ＡＣ，ＢＤ，则ＡＣ与ＢＤ的数量关系为　ＡＣ＝ＢＤ　． 例题图 归纳总结 ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＥ，∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ 重要结论： ①△ＡＢＤ≌△ＡＣＥ； ②直线 ＢＤ与 ＣＥ的夹角（较小 的角）等于∠ＢＡＣ（或 １８０°－ ∠ＢＡＣ） 模型特点： 双等腰，共顶点，顶角 相等，旋转得全等 演变： 针对训练 １．（优质原创）如图，在△ＡＢＣ和△ＡＤＥ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＥ，∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ＝９０°，Ｂ，Ｃ，Ｄ三 点在同一条直线上，连接ＣＥ．若ＡＢ＝槡２，ＡＤ＝２，则ＣＤ＝　槡３－１　． 第１题图 　　　　 第２题图 　　　　 第３题图 ２．如图，四边形ＡＢＣＤ和四边形ＣＥＦＧ都是正方形，连接ＢＤ，ＢＧ，ＤＥ，若ＢＤ＝ＢＧ，ＢＤ∥ＣＧ，则 ∠ＢＤＥ＝　６０　°． ３．（２０２２张家界）如图，点Ｏ是等边三角形 ＡＢＣ内一点，ＯＡ＝２，ＯＢ＝１，ＯＣ＝槡３，则△ＡＯＢ与 △ＢＯＣ的面积之和为 （　Ｃ　） Ａ．槡３４　　　　　　　Ｂ． 槡３ ２　　　　　　　Ｃ． ３槡３ ４　　　　　　　Ｄ．槡３ ７１ 培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 模 型  方 法 篇 ４．如图，若△ＡＣＢ和△ＤＣＥ均为等腰直角三角形，∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ＝９０°，点Ａ，Ｄ，Ｅ在同一条直 线上，ＣＭ为△ＤＣＥ中ＤＥ边上的高，连接ＢＥ，请判断∠ＡＥＢ的度数及线段ＣＭ，ＡＥ，ＢＥ之间 的数量关系并说明理由． 第４题图 解：∠ＡＥＢ＝９０°，ＡＥ＝ＢＥ＋２ＣＭ，理由如下： ∵△ＡＣＢ和△ＤＣＥ均为等腰直角三角形， ∴ＡＣ＝ＢＣ，ＤＣ＝ＥＣ，∠ＡＣＢ＝９０°＝∠ＤＣＥ， ∴∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ， ∴△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ（ＳＡＳ）， ∴ＡＤ＝ＢＥ，∠ＡＤＣ＝∠ＢＥＣ， ∵△ＣＤＥ是等腰直角三角形，∴∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ＝４５°，∴∠ＡＤＣ＝１８０°－∠ＣＤＥ＝１３５°， ∴∠ＢＥＣ＝∠ＡＤＣ＝１３５°， ∴∠ＡＥＢ＝∠ＢＥＣ－∠ＣＥＤ＝１３５°－４５°＝９０°， ∵ＣＤ＝ＣＥ，ＣＭ⊥ＤＥ，∴ＤＭ＝ＭＥ， ∵∠ＤＣＥ＝９０°，∴ＤＭ＝ＭＥ＝ＣＭ， ∴ＤＥ＝２ＣＭ，∴ＡＥ＝ＡＤ＋ＤＥ＝ＢＥ＋２ＣＭ． ５．（多解法）（优质原创）如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ，Ｍ是ＡＤ 延长线上一点，连接ＢＭ，过点Ｍ作ＭＥ⊥ＢＭ交ＡＣ于点Ｅ，求证：ＢＭ＝ＭＥ． 第５题图 　　　　 第５题解图 证明：如解图，过点Ｍ作ＭＮ⊥ＡＭ交ＡＢ延长线于点Ｎ． ∵在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＤ⊥ＢＣ，∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＝４５°， ∵ＭＮ⊥ＡＭ，ＭＢ⊥ＭＥ，∴∠ＮＭＡ＝∠ＢＭＥ＝９０°， ∴∠ＭＮＡ＝４５°＝∠ＭＡＮ＝∠ＭＡＥ，∠ＮＭＢ＝∠ＡＭＥ， ∴ＭＡ＝ＭＮ． ∴△ＭＢＮ≌△ＭＥＡ，∴ＢＭ＝ＭＥ． ６．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝６０°，点Ｄ是ＢＣ上一点，ＡＤ＝ＡＣ．在ＡＢ上取点Ｆ，使得△ＢＤＦ是等 边三角形．猜想ＡＦ与ＢＣ的数量关系，并证明你的结论． 第６题图 　　　　 第６题解图 解：ＡＦ＝ＢＣ． 证明：如解图，延长ＢＣ到点Ｅ，使得ＢＥ＝ＢＡ，连接ＡＥ． ∵∠Ｂ＝６０°，∴△ＡＢＥ是等边三角形，∴ＡＥ＝ＡＢ＝ＢＥ，∠Ｅ＝６０°＝∠Ｂ， ∵ＡＣ＝ＡＤ，∴∠ＡＣＤ＝∠ＡＤＣ，∴∠ＡＣＥ＝∠ＡＤＢ，∴△ＡＣＥ≌△ＡＤＢ，∴ＣＥ＝ＢＤ， ∵△ＢＤＦ是等边三角形，∴ＢＦ＝ＢＤ，∴ＢＦ＝ＣＥ，∴ＢＥ－ＣＥ＝ＡＢ－ＢＦ，即ＡＦ＝ＢＣ． ８１ 一战成名·河南数学 培 优 册 ∠ＣＤＧ＝∠ＢＣＤ＝６０°，∴ＤＧ＝２．∵ＤＥ是由 ＣＤ绕点 Ｄ 逆时针旋转 ９０°得到的，∴ＤＥ＝ＤＣ，∠ＥＤＣ＝９０°，∴ ∠ＥＤＦ＋∠ＣＤＧ＝９０°，又∵∠ＥＤＦ＋∠ＤＥＦ＝９０°，∴ ∠ＤＥＦ＝∠ＣＤＧ，∵∠ＤＦＥ＝∠ＣＧＤ＝９０°，∴△ＤＥＦ≌ △ＣＤＧ，∴ＥＦ＝ＤＧ＝２，∴Ｓ△ＡＤＥ＝ １ ２ＡＤ·ＥＦ＝２． 第２题解图 ３．解：如解图，过点 Ｄ作 ＤＦ⊥ＡＢ于点 Ｆ，过点 Ｃ作 ＣＥ⊥ ＡＢ，交ＢＡ的延长线于点Ｅ， ∵∠ＤＢＡ＝∠ＤＡＢ，∴ＡＤ＝ＢＤ， ∴ＡＦ＝ＢＦ＝１２ＡＢ 槡＝３， ∵∠ＣＡＤ＝９０°，∴∠ＤＡＦ＋∠ＣＡＥ＝９０°， ∵∠ＤＡＦ＋∠ＡＤＦ＝９０°，∴∠ＣＡＥ＝∠ＡＤＦ， 在△ＣＡＥ和△ＡＤＦ中， ∠ＣＥＡ＝∠ＡＦＤ＝９０°， ∠ＣＡＥ＝∠ＡＤＦ， ＡＣ＝ＡＤ{ ， ∴△ＣＡＥ≌△ＡＤＦ（ＡＡＳ），∴ＣＥ＝ＡＦ 槡＝３， 即点Ｃ到ＡＢ的距离为槡３． 第３题解图 ４．证明：（１）∵在等腰直角三角形ＥＤＦ中，