专题7 全等——十字模型&专题8 全等一线三等角-【一战成名新中考】2024河南中考数学·培优册

培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 模 型  方 法 篇 专题七　全等———十字模型（２０２０．１４） 例　（华师八下 Ｐ１２１第２题）如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，ＣＥ⊥ＤＦ．求证：ＣＥ＝ＤＦ． 例题图 证明：设ＣＥ，ＤＦ交于点Ｏ， ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＢＣ＝ＣＤ，∠Ｂ＝∠ＢＣＤ＝９０°， ∴∠ＢＥＣ＋∠ＢＣＥ＝９０°， ∵ＣＥ⊥ＤＦ，∴∠ＦＯＣ＝９０°， ∴∠ＣＦＤ＋∠ＢＣＥ＝９０°， ∴∠ＢＥＣ＝∠ＣＦＤ， ∴△ＢＥＣ≌△ＣＦＤ（ＡＡＳ），∴ＣＥ＝ＤＦ． 归纳总结 结论 基础 图形 △ＡＢＥ≌△ＢＣＦ， △ＡＢＧ∽ △ＢＥＧ∽ △ＢＦＣ 演变 图形 ＭＮ＝ＡＥ （ＱＰ垂直平分ＭＮ） ＭＮ＝ＰＱ， ＡＱ＝ＢＭ， ＢＰ＝ＣＮ △ＡＢＧ≌△ＤＡＦ， △ＡＢＧ∽ △ＢＥＧ∽ △ＡＥＢ， ＦＧ＝ＤＦ－ＢＧ 针对训练 １．（２０２３平顶山模拟）如图，已知正方形 ＡＢ ＣＤ的边长为６，点 Ｅ，Ｆ分别在 ＡＤ，ＤＣ上， ＡＥ＝ＤＦ＝２，ＢＥ与ＡＦ相交于点Ｇ，点Ｈ为 ＢＦ的中点，连接ＧＨ，则ＧＨ的长为　槡１３　． 第１题图 　　　 第２题图 ２．（多解法）（２０２０河南１４题３分）如图，在边 长为２槡２的正方形ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别是 边ＡＢ，ＢＣ的中点，连接 ＥＣ，ＦＤ，点 Ｇ，Ｈ分 别是 ＥＣ，ＦＤ的中点，连接 ＧＨ，则 ＧＨ的长 度为　１　． ３．如图，点 Ｐ是正方形 ＡＢＣＤ的边 ＣＤ上一 点，ＡＥ，ＣＦ分别垂直ＢＰ，垂足记为点Ｅ，Ｆ． （１）猜想线段ＡＥ，ＥＦ，ＣＦ之间的关系，并证 明你的结论； （２）过点Ｄ作ＤＧ⊥ＢＰ交ＢＰ的延长线于点 Ｇ，线段ＡＥ，ＣＦ，ＤＧ之间有怎样的关系，试 画出图形，并证明你的结论． 第３题图 　　　　 第３题解图 解：（１）ＡＥ＝ＥＦ＋ＣＦ，证明略； （２）ＡＥ＝ＣＦ＋ＤＧ．画出图形如解图．证明：过点 Ｄ作ＤＨ⊥ＡＥ于点 Ｈ，则四边形 ＤＨＥＧ是矩形， ∴ＥＨ＝ＤＧ，易得∠ＤＡＨ＝∠ＡＢＥ＝∠ＢＣＦ， ∠ＤＨＡ＝∠ＢＦＣ，ＡＤ＝ＢＣ，∴△ＤＡＨ≌△ＢＣＦ， ∴ＡＨ＝ＣＦ，∵ＡＥ＝ＡＨ＋ＨＥ，∴ＡＥ＝ＣＦ＋ＤＧ． 【拓展】———十字相似　如图，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别 是矩形ＡＢＣＤ四条边上的点，已知ＥＦ⊥ＧＨ， 若ＡＢ＝２，ＢＣ＝３，则ＥＦ∶ＧＨ为 （　Ｂ　） 拓展题图 Ａ．３∶２　　　　　　　Ｂ．２∶３                                                                    Ｃ．４∶９ Ｄ．９∶４ ５１ 培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 模 型  方 法 篇 专题八　全等———一线三等角 例　（多解法）如图，ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＥ是四根长度 均为５ｃｍ的火柴棒，点Ａ、Ｃ、Ｅ共线．若ＡＣ＝ ６ｃｍ，ＣＤ⊥ＢＣ，则线段ＣＥ的长度是 （　Ｄ　） Ａ．６ｃｍ 例题图 Ｂ．７ｃｍ Ｃ．６槡２ｃｍ Ｄ．８ｃｍ 归纳总结 辅助线 方法 图形 （ＡＢ＝ＢＣ） 结论 遇“等腰 直 角 三 角形”作 “三 垂 直”构造 全等 △ＡＢＤ≌△ＢＣＥ 针对训练 １．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＢＣ＝８，等腰 Ｒｔ△ＧＥＦ的直角顶点Ｅ在ＢＣ上，点Ｇ和点 Ｆ分别在 ＡＤ，ＣＤ上，若 ＣＦ＝１，则 ＡＧ的长 为　１　． 第１题图 　　 第２题图 ２．如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ⊥ ＢＣ，∠ＢＣＤ＝６０°，ＡＤ＝２，ＡＢ＝２槡３，将线段 ＣＤ绕点 Ｄ逆时针旋转９０°得到 ＤＥ，连接 ＡＥ．则△ＡＤＥ的面积为　２　． ３．（２０２３周口市模拟节选）如图，在△ＡＢＣ中， Ｄ是 ＢＣ上一点，∠ＣＡＤ＝９０°，ＡＣ＝ＡＤ， ∠ＤＢＡ＝∠ＤＡＢ，ＡＢ＝２槡３，求点Ｃ到ＡＢ边 的距离． 第３题图 　 第３题解图 解：如解图，过点Ｄ作ＤＦ⊥ＡＢ于点Ｆ，过点Ｃ作 ＣＥ⊥ＡＢ，交ＢＡ的延长线于点Ｅ， ∵∠ＤＢＡ＝∠ＤＡＢ，∴ＡＤ＝ＢＤ， ∴ＡＦ＝ＢＦ＝１２ＡＢ＝槡３， ∵∠ＣＡＤ＝９０°，∴∠ＤＡＦ＋∠ＣＡＥ＝９０°， ∵∠ＤＡＦ＋∠ＡＤＦ＝９０°，∴∠ＣＡＥ＝∠ＡＤＦ， 在△ＣＡＥ和△ＡＤＦ中， ∠ＣＥＡ＝∠ＡＦＤ＝９０°， ∠ＣＡＥ＝∠ＡＤＦ， ＡＣ＝ＡＤ{ ， ∴△ＣＡＥ≌△ＡＤＦ（ＡＡＳ），∴ＣＥ＝ＡＦ＝槡３， 即点Ｃ到ＡＢ的距离为槡３． ４．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°．线段ＥＦ 是由线段ＡＢ平移得到的，点Ｆ在边ＢＣ上， △ＥＦＤ是以ＥＦ为斜边的等腰直角三角形， 且点Ｄ恰好在ＡＣ的延长线上． （１）求证：∠ＡＤＥ＝∠ＤＦＣ； （２）求证：ＣＤ＝ＢＦ． 第４题图 　 第４题解图 证明：（