专题6 等面积法的应用-【一战成名新中考】2024河南中考数学·培优册

培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 模 型  方 法 篇 专题六　等面积法的应用 例　如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝５，ＢＣ＝８，Ｐ是 ＢＣ边上的动点，过点 Ｐ作 ＰＤ⊥ＡＢ于点 Ｄ， ＰＥ⊥ＡＣ于点Ｅ，则ＰＤ＋ＰＥ的长是 （　Ａ　） Ａ．２４５　　　　　　　Ｂ． １６ ５　　　　　　　Ｃ． ２４ ５或 １６ ５　　　　　　　Ｄ．５ 例题图 归纳总结 解题 方法 常见 图形 思考：若点Ｏ是等边三角形ＡＢＣ内部任意一点，则有什么样的结论？ 针对训练 １．（多解法）如图，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１，Ｐ是线段ＡＤ上的动点，ＰＥ⊥ＡＣ于点Ｅ，ＰＦ⊥ＢＤ 于点Ｆ，则ＰＥ＋ＰＦ的值为 （　Ｄ　） Ａ．槡２　　　　　　　 Ｂ．４　　　　　　　 Ｃ．２　　　　　　　 Ｄ．槡 ２ ２ 第１题图 ３１ 培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 模 型  方 法 篇 ２．（２０２３内江）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽 创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成 的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝５，ＡＤ＝１２，对 角线ＡＣ与ＢＤ交于点Ｏ，点Ｅ为ＢＣ边上的一个动点，ＥＦ⊥ＡＣ，ＥＧ⊥ＢＤ，垂足分别为点Ｆ， Ｇ，则ＥＦ＋ＥＧ＝　６０１３　． 第２题图 ３．（２０２３淮阳区模拟）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚 的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，如图，测得ＢＤ＝１２ｃｍ，ＡＣ＝１６ｃｍ，直线ＥＦ⊥ ＡＢ交两对边于点Ｅ，Ｆ，则ＥＦ的长为 （　Ｃ　） Ａ．８ｃｍ Ｂ．１０ｃｍ Ｃ．４８５ｃｍ Ｄ． ９６ ５ｃｍ 第３题图 ４．（多解法）（２０２３福建）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆 术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之 又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种 思想得到了圆周率π的近似值为３．１４１６．如图，⊙Ｏ的半径为１，运用“割圆术”，以圆内接 正六边形面积近似估计⊙Ｏ的面积，可得π的估计值为３槡３２，若用圆内接正十二边形作近似 估计，可得π的估计值为 （　Ｃ　） Ａ．槡３ Ｂ．２槡２ Ｃ．３ Ｄ．２槡３ 第４题图 ５．如图，△ＡＢＣ为等边三角形，边长为２ｃｍ，Ｐ为△ＡＢＣ内任意一点，过Ｐ作ＰＥ⊥ＡＢ，ＰＦ⊥ＡＣ， ＰＤ⊥ＢＣ，分别交于点Ｅ、Ｆ、Ｄ，则ＰＥ＋ＰＦ＋ＰＤ的值为　槡３　ｃｍ． 第５题图 ４１ 一战成名·河南数学 培 优 册 ＝ｘ，∵△ＡＢＣ的面积为Ｓ，∴Ｓ△ＡＢＥ＝Ｓ△ＡＢＣ＋２Ｓ△ＢＣＤ＝Ｓ＋ ２ｘ，∴Ｓ△ＡＤＣ＝Ｓ△ＡＤＥ－Ｓ△ＥＤＣ＝ １ ２Ｓ△ＡＢＥ－Ｓ△ＥＤＣ＝ １ ２Ｓ． ５．３２７　【解析】如解图，延长ＥＤ交ＡＢ于点Ｆ，连接ＤＣ．∵ ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＦＡＤ＝∠ＣＡＤ，∵ＤＥ∥ＡＣ，∴∠ＦＤＡ ＝∠ＣＡＤ，∴∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ，∴ＦＡ＝ＦＤ．∵ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，∴∠ＡＢＤ＝∠ＥＢＤ，∵ＢＤ＝ＢＤ，∠ＢＤＡ＝∠ＢＤＥ， ∴△ＡＢＤ≌△ＥＢＤ，∴ＢＥ＝ＢＡ＝７，∵ＢＣ＝９，∴ＣＥ＝２． ∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，∴ＣＤ平分∠ＡＣＢ，∴ ∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＤ，∵ＤＥ∥ＡＣ，∴∠ＥＤＣ＝∠ＡＣＤ，∴ ∠ＥＤＣ＝∠ＥＣＤ，∴ＤＥ＝ＣＥ＝２．∵ＥＦ∥ＡＣ，∴ＣＥＢＣ＝ ＡＦ ＡＢ，即 ２ ９＝ ＡＦ ７，解得 ＡＦ＝ １４ ９，∴ＦＥ＝ＦＤ＋ＥＤ＝ ３２ ９．∵ ＥＦ∥ＡＣ，∴△ＢＥＦ∽△ＢＣＡ，∴ＥＦＡＣ＝ ＢＥ ＢＣ，即 ３２ ９ ＡＣ＝ ７ ９，∴ ＡＣ＝３２７． 第５题解图 　　 拓展题解图 拓展　解：如解图，在ＡＤ上截取ＡＭ＝ＢＣ，连接ＢＭ，由旋转 性质得ＡＣ＝ＡＢ，∵ＡＣ＝ＣＤ，∴ＡＢ＝ＣＤ， 在△ＡＭＢ和△ＣＢＤ中， ＡＭ＝ＢＣ， ∠ＢＡＭ＝∠ＤＣＢ， ＡＢ＝ＣＤ { ， ∴△ＡＭＢ≌△ＣＢＤ（ＳＡＳ）， ∴ＢＭ＝ＢＤ，∠ＡＢＭ＝∠ＣＤＢ， ∴∠ＢＭＤ＝∠ＢＤＭ，∵∠ＢＭＤ＝∠ＢＡＤ＋∠ＭＢＡ， ∴∠ＡＤＢ＝∠ＢＣＤ＋∠ＢＤＣ， 设∠ＢＣＤ＝∠ＢＡＤ＝α，∠ＢＤＣ＝β，则∠ＡＤＢ＝α＋β， ∵ＣＡ＝ＣＤ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＣＤＡ＝α＋２β， ∴∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＤ－∠ＢＡＤ＝２β， ∴∠ＡＣＢ＝１２×（１８０°－２β）＝９０°－β， ∴∠ＡＣＤ＝９０°－β＋α， ∵∠ＡＣＤ＋∠ＣＡＤ＋∠ＣＤＡ＝１８０°， ∴９０°－β＋α＋α＋２β＋α＋２β＝１８０°， ∴α＋β＝３０°，即∠ＡＤＢ＝３０°． 专题五　特殊三角形存在性问题 例１　（ 槡１－２３，０）或（ 槡１＋２３，０）或（２，０）或（６，０）或 （ ２３ ６，０） 例２　（３２