专题5 特殊三角形存在性问题-【一战成名新中考】2024河南中考数学·培优册

培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 模 型  方 法 篇 专题五　特殊三角形存在性问题（１０年７考） 类 型 １　等腰三角形存在性问题 （２０１９，２０１６．２３，２０１５．１５） 例１　如图，点 Ａ坐标为（１，１），点 Ｂ坐标为 （４，３），在ｘ轴上取点Ｃ，使得△ＡＢＣ是等腰 三角形，则点 Ｃ的坐标为　（１－２槡３，０）或 （１＋２槡３，０）或（２，０）或（６，０）或（ ２３ ６，０）　． 例１题图 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 解法１：代数法求点坐标 设点Ｃ的坐标，根据 Ａ，Ｂ，Ｃ的坐标表示 出线段 ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ的长，由 ＡＢ＝ＢＣ， ＡＢ＝ＡＣ，ＢＣ＝ＡＣ，求解出点Ｃ坐标． 解法２：数形结合法 （１）“两圆一线”定点的位置：如图①， ①ＡＢ为腰时：分别以Ａ，Ｂ为圆心，ＡＢ长 为半径画圆，与 ｘ轴交于点 Ｃ，此时点 Ｃ 有４个；②ＡＢ为底时：作ＡＢ的垂直平分獉獉獉獉 线 獉 ，交ｘ轴于点Ｃ，此时点Ｃ有１个． 注：若有三点共线的情况，则需排除． 图① （２）计算点的坐标：以 ＡＢ为腰且 Ａ为顶 点为例，如图②，作 ＡＨ⊥ｘ轴于 Ｈ，构造 直角三角形，通过勾股定理（ＡＨ２＋ＨＣ２ ＝ＡＣ２＝ＡＢ２）求解出点坐标． 图② 类 型 ２　直角三角形存在性问题 （２０２３，２０２２，２０１８，２０１７．１５） 例２　如图，在平面直角坐标系中，点 Ａ坐标 为（１，１），点Ｂ坐标为（５，３），在ｘ轴上找一 点Ｃ，使得△ＡＢＣ是直角三角形，则点Ｃ的坐 标为　（３２，０）或（ １３ ２，０）或（２，０）或（４，０）　． 例２题图 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 解法１：代数法求点坐标 设点Ｃ的坐标，根据Ａ，Ｂ，Ｃ的坐标表示 出线段 ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ的长，分别列方程 ＢＣ２＝ＡＢ２＋ＡＣ２，ＡＣ２＝ＡＢ２＋ＢＣ２，ＡＢ２＝ ＢＣ２＋ＡＣ２，求解出点Ｃ坐标． 解法２：数形结合法 （１）“两线一圆”定点的位置：如图①，分 三种情况．①∠Ａ为直角，过点 Ａ作 ＡＢ 的垂线，与 ｘ轴的交点即为所求点 Ｃ； ②∠Ｂ为直角，过点 Ｂ作 ＡＢ的垂线，与 ｘ轴的交点即为所求点 Ｃ；③∠Ｃ为直  角，以ＡＢ为直径作圆，与 ｘ轴的交点即 为所求点 Ｃ（直径所对的圆周角为直 角）． 图① 　　 图② （２）构造三垂直计算点的坐标：以 ∠ＢＡＣ１ 为直角为例，如图 ②，构造 Ｒｔ△ＡＢＥ和 Ｒｔ△ＡＣ１Ｆ，通过△ＡＢＥ∽ △Ｃ１ＡＦ，可得 ＡＥ Ｃ１Ｆ ＝ＢＥＡＦ，求出点Ｃ坐标                                                                      ． １１ 培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 模 型  方 法 篇 针对训练 １．如图，线段ＡＢ的端点Ａ在直线ｌ上，ＡＢ与ｌ的夹角为３０°，点Ｃ在直线ｌ上，若△ＡＢＣ是等腰 三角形，则这个等腰三角形顶角的度数是　３０°或１５０°或１２０°　． 第１题图 ２．在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，Ｍ是对角线ＢＤ上的动点，过点Ｍ作ＭＥ⊥ＢＣ于点Ｅ，连接 ＡＭ，当△ＡＤＭ是等腰三角形时，ＭＥ的长为　３５或 ３ ２　． ３．（２０２３内江改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线ｙ＝１４ｘ ２－１２ｘ－２与ｘ轴交于Ｂ，Ｃ两点 （点Ｂ在点Ｃ左侧），与ｙ轴交于点Ａ．在抛物线的对称轴上是否存在一点Ｍ，使得△ＭＡＢ是 以ＡＢ为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点Ｍ的坐标，若不存在，请说明理由． 第３题图 　　　 第３题解图 解：存在