专题4 角平分线模型-【一战成名新中考】2024河南中考数学·培优册

培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 模 型  方 法 篇 专题四　角平分线模型（１０年３考） 类 型 １　角平分线＋边的垂线构造“双垂直” 已知：ＯＰ平分∠ＡＯＢ，ＰＭ⊥ ＯＡ于Ｍ 作法：过点 Ｐ作 ＰＮ⊥ＯＢ 于Ｎ 结论：ＰＮ＝ＰＭ；△ＰＭＯ≌ △ＰＮＯ；ＯＮ＝ＯＭ １．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝３０°，∠Ｃ＝４５°，ＡＤ 平分∠ＢＡＣ交ＢＣ于点Ｄ，ＤＥ⊥ＡＢ于点Ｅ， 若ＤＥ＝１，则ＢＣ的长为　２＋槡２　． 第１题图 类 型 ２　角平分线＋截取构造全等三角形 　　　　　（截长补短法） 已知：ＡＤ平分∠ＢＡＣ 作法：在ＡＢ上截取ＡＥ＝ ＡＣ，连接ＥＤ 结论：△ＡＥＤ≌△ＡＣＤ 已知：ＡＤ平分∠ＢＡＣ 作法：延长 ＡＣ至点 Ｆ使 得ＡＦ＝ＡＢ，连接ＤＦ 结论：△ＡＢＤ≌△ＡＦＤ ２．（多解法）如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝２∠Ｂ， ＡＤ平分∠ＢＡＣ交 ＢＣ于点 Ｄ，若 ＡＢ＝５， ＡＣ＝３，则ＣＤ的长为　２　． 第２题图 类 型 ３　角平分线＋角平分线的垂线构造等 　　　　　腰三角形（２０２２．１８，２０１８．９，２０１５．７） 已知：ＯＰ平分∠ＡＯＢ，点 Ｍ在ＯＡ上，ＭＰ⊥ＯＰ 作法：延长 ＭＰ交 ＯＢ于 点Ｎ 结论：△ＰＯＭ≌△ＰＯＮ； ＰＮ＝ＰＭ；△ＭＯＮ是等腰 三角形 ３．如图，在△ＡＢＣ中，ＣＤ平分∠ＡＣＢ，ＢＤ⊥ＣＤ 于点Ｄ，∠ＡＢＤ＝∠Ａ，若 ＢＤ＝１，ＡＣ＝７，则 ｃｏｓ∠ＣＢＤ的值为　１５　． 第３题图 类 型 ４　角平分线＋平行线想等腰三角形 已知：ＯＣ平 分 ∠ＡＯＢ， ＣＤ∥ＯＢ 结论：△ＣＤＯ为等腰三 角形 ４．（２０２３梁园区模拟）如图，ＤＥ是△ＡＢＣ的中 位线，∠ＡＢＣ的平分线交 ＤＥ于点 Ｆ，ＡＢ＝ ８，ＢＣ＝１２，则ＥＦ的长为 （　Ｃ　） Ａ．１　　 Ｂ．１．５　　 Ｃ．２　 　Ｄ．２．５ 第４题图                                                                   ９ 培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 模 型  方 法 篇 针对训练 １．如图，ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，ＤＦ⊥ＡＢ于 点Ｆ，且ＤＥ＝ＤＧ，Ｓ△ＡＤＧ＝２４，Ｓ△ＡＥＤ＝１８，则 △ＤＥＦ的面积为 （　Ｂ　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．６ 第１题图 ２．如图，ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，则 ＡＢ∶ＡＣ 等于 （　Ａ　） Ａ．ＢＤ∶ＣＤ Ｂ．ＡＤ∶ＣＤ Ｃ．ＢＣ∶ＡＤ Ｄ．ＢＣ∶ＡＣ 第２题图 ３．（多解法）如图，正方形ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ 与ＢＤ相交于点Ｏ，∠ＡＣＢ的平分线分别交 ＡＢ、ＢＤ于Ｍ、Ｎ两点．若 ＢＭ＝２槡２，则线段 ＡＣ的长为 （　Ａ　） Ａ．４　槡２＋４ Ｂ．４ 　 槡２＋２ Ｃ．４　槡２＋６ Ｄ．４ 　 槡２ 第３题图 ４．如图，△ＡＢＣ的面积为 Ｓ，ＡＤ平分∠ＢＡＣ， ＡＤ⊥ＢＤ于Ｄ，连接ＣＤ，则△ＡＣＤ的面积为 （　Ｃ　） Ａ．２Ｓ３ 　Ｂ． Ｓ ３ 　Ｃ． Ｓ ２ 　Ｄ．Ｓ 第４题图 ５．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝７，ＢＣ＝９，ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，过点 Ｄ作 ＤＥ∥ＡＣ 交ＢＣ于点 Ｅ，若∠ＡＤＢ＝∠ＥＤＢ，则 ＡＣ的 长为　３２７　． 第５题图 【截长补短法的另类拓展】如图，△ＡＤＣ为等 腰三角形，ＡＣ＝ＣＤ，将ＡＣ绕点Ａ顺时针旋 转，使得 ∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ，求 ∠ＡＤＢ的 度数． 拓展题图 　　 拓展题解图 【点拨】截长补短法． 解：如解图，在ＡＤ上截取ＡＭ＝ＢＣ，连接ＢＭ，由 旋转性质得ＡＣ＝ＡＢ，∵ＡＣ＝ＣＤ， ∴ＡＢ＝ＣＤ， 在△ＡＭＢ和△ＣＢＤ中， ＡＭ＝ＣＢ， ∠ＢＡＭ＝∠ＤＣＢ， ＡＢ＝ＣＤ { ， ∴△ＡＭＢ≌△ＣＢＤ（ＳＡＳ）， ∴ＢＭ＝ＢＤ，∠ＡＢＭ＝∠ＣＤＢ， ∴∠ＢＭＤ＝∠ＢＤＭ， ∵∠ＢＭＤ＝∠ＢＡＤ＋∠ＭＢＡ， ∴∠ＡＤＢ＝∠ＢＣＤ＋∠ＢＤＣ， 设∠ＢＣＤ＝∠ＢＡＤ＝α，∠ＢＤＣ＝β， 则∠ＡＤＢ＝α＋β， ∵ＣＡ＝ＣＤ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＣＤＡ＝α＋２β， ∴∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＤ－∠ＢＡＤ＝２β， ∴∠ＡＣＢ＝１２×（１８０°－２β）＝９０°－β， ∴∠ＡＣＤ＝９０°－β＋α， ∵∠ＡＣＤ＋∠ＣＡＤ＋∠ＣＤＡ＝１８０°， ∴９０°－β＋α＋α＋２β＋α＋２β＝１８０°， ∴α＋β＝３０°，即∠ＡＤＢ＝３０                                                               