专题3 中点模型-【一战成名新中考】2024河南中考数学·培优册

培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 模 型  方 法 篇 专题三　中点模型（１０年２考） 类 型 １　构造中位线 已知：Ｄ是ＡＢ中点 作法：过点Ｄ作ＤＥ∥ＢＣ 结论：ＡＥ＝ＥＣ，ＤＥ＝ １ ２ＢＣ，△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ １．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝９０°，ＡＢ＝２，Ｄ 是ＡＣ的中点，点Ｅ在边ＢＣ上，且∠ＤＥＣ＝ ４５°，则ＤＥ的长为　槡２　． 第１题图 类 型 ２　构造“三线合一” 已知：ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是ＢＣ中点 作法：连接ＡＤ 结论：ＡＤ⊥ＢＣ，ＡＤ平分∠ＢＡＣ ２．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝５，ＢＣ＝６，Ｍ 为ＢＣ的中点，ＭＮ⊥ＡＣ于点Ｎ，则ＭＮ的长 度为 （　Ｄ　） 第２题图 Ａ．３　　Ｂ．３　槡２　　Ｃ． ８　槡２ ５　　Ｄ． １２ ５ 类 型 ３　构造斜边中线 已知：在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝ ９０°，Ｄ为ＡＢ的中点 作法：连接ＣＤ 结论：ＣＤ＝ＡＤ＝ＢＤ 第３题图 ３．如图，已知∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ＝ ９０°，∠ＤＡＢ＝４５°，Ｍ、Ｎ分别 是ＡＣ、ＢＤ中点，若 ＡＣ＝１０， 则ＭＮ＝　５槡２２　． 类 型 ４　构造等腰三角形（２０２３．１５，２０１９．９） 已知：ＥＤ⊥ＢＣ，Ｄ为ＢＣ 中点 作法：连接ＢＥ 结论：ＢＥ＝ＥＣ，ＥＤ平分 ∠ＢＥＣ 第４题图 ４．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝ ９０°，Ｄ是 ＡＢ的中点，过点 Ｄ 作 ＤＥ⊥ＡＢ交 ＢＣ于点 Ｅ，若 ＣＥ＝３，ＡＣ＝４，则 ＤＥ的长为 　槡５　． 类 型 ５　圆中遇中点想垂径定理 已知：Ｃ是 ) ＡＢ的中点 作法：连接ＯＣ 结论：ＯＣ⊥ＡＢ，ＡＣ＝ＢＣ， ∠ＡＤＣ＝１２∠ＡＯＣ，∠ＡＯＣ＝ ∠ＢＯＣ；ＤＣ平分∠ＡＤＢ ５．（２０２３宜宾）如图，已知点 Ａ，Ｂ，Ｃ在⊙Ｏ 上，Ｃ为 ) ＡＢ的中点．若∠ＢＡＣ＝３５°，则 ∠ＡＯＢ等于 （　Ａ　） 第５题图 Ａ．１４０°　 Ｂ．１２０°　 Ｃ．１１０°　 Ｄ．７０                                                                   ° ７ 培优册·河南数学 河 南 中 考 培 优 模 型  方 法 篇 类 型 ６　倍长中线构造“８字形”全等 已知：Ｄ为ＢＣ中点 作法：延长 ＡＤ至点 Ｅ， 使ＤＥ＝ＡＤ，连接ＣＥ 结论：△ＡＤＢ≌△ＥＤＣ 已知：Ｄ为ＢＣ中点 作法：延长ＭＤ至点Ｅ， 使ＤＥ＝ＭＤ，连接ＣＥ 结论：△ＭＤＢ≌△ＥＤＣ ６．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝１２０°，ＢＣ＝４，Ｄ 为ＡＢ的中点，ＤＣ⊥ＢＣ，则△ＡＢＣ的面积是 （　Ｄ　） 第６题图 Ａ．１６ Ｂ．１６槡３ Ｃ．８ Ｄ．８槡３ 针对训练 １．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ ) ＡＢ）， 点Ｏ是这段弧所在圆的圆心，∠ＡＯＢ＝６０°， Ｃ是 ) ＡＢ的中点，ＣＤ⊥ＡＢ，且ＣＤ＝５ｍ，则这段 弯路所在圆的半径为　（２０＋１０槡３）　ｍ． 第１题图 　　　 第２题图 ２．（优质原创）如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中， ∠Ｂ＝４５°，Ｅ是边 ＢＣ的中点，过点 Ｅ作 ＥＦ⊥ＢＣ交 ＡＢ于点 Ｆ．若 ＡＦ＝１，ＥＦ＝槡２， 则对角线ＡＣ的长为　槡５　． ３．（优质原创）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ， ∠ＢＡＣ＝１２０°，Ｄ是ＢＣ的中点，Ｅ是ＡＢ的四 第３题图 等分点，且靠近 点Ａ，若Ｓ△ＢＤＥ＝ ３槡３ ８，则 ＢＣ的 长为　２槡３　． 第４题图 ４．如图，将两个含３０°角的 直角三角板摆放在一起， Ｅ为 ＡＢ的中点，连接 ＤＥ．若 ＡＣ＝２，则 ＤＥ的 长为　槡７　． ５．如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＢＤ为对角线，ＡＢ ＝２，ＣＤ＝２．８，Ｅ，Ｆ分别是边 ＡＤ，ＢＣ的中 点，则ＥＦ的取值范围是 （　Ａ　） Ａ．０．４＜ＥＦ≤２．４ Ｂ．０．４≤ＥＦ＜２．４ Ｃ．０．８＜ＥＦ≤４．８ Ｄ．０．８≤ＥＦ＜４．８ 第５题图 　　 第６题图 ６．如图，△ＡＢＣ与△ＡＣＤ均为直角三角形，且 ∠ＡＣＢ＝∠ＣＡＤ＝９０°，ＡＤ＝２ＢＣ＝６，ＡＢ∶ＢＣ＝ ５∶３，Ｅ是ＢＤ的中点，则ＡＥ的长为 （　Ｂ　） Ａ．３２ Ｂ． ５ ２ Ｃ．２ Ｄ．３ ７．（多解法）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点 Ｅ 在ＡＢ上，点Ｆ在ＡＣ的延长线上，ＢＥ＝ＣＦ， 连接ＥＦ交ＢＣ于点Ｄ．求证：ＤＥ＝ＤＦ． 第７题图 　　　 第７题解图 证明：解法１：如解图，过点 Ｅ作 ＥＧ∥ＡＣ交 ＢＤ 于点Ｇ． ∵ＡＢ＝ＡＣ，∴∠Ｂ＝∠ＡＣＢ， ∵ＥＧ∥ＡＣ，∴∠ＥＧＢ＝∠ＡＣＢ＝∠ＥＢＧ， ∴ＢＥ＝ＥＧ＝ＣＦ． ∵ ＥＧ∥ ＣＦ，∴ ∠ＤＥＧ ＝∠ＤＦＣ，∠ＤＧＥ ＝∠ＤＣＦ， ∴△