2024年中国科学技术大学少年班创新班入围考试数学试题

2024年中国科学技术大学少年班创新班 入围考试数学试题 一，填空(90分，每题5分，共18题，) 1.设a,beR,下列命题正确的是 (但)a≠0是d>0的充要条件 (②)若a,b为无理数，则ab为无理数 (3)a,3b∈Z,使0≤a+b<1 (④)3a∈Q使Va2+1∈Q 2三个集合8=la<巩s-ol号斗s-0周<引 求(S,nS2)US。= 3.x2+y2=2x-2y所围成的面积 4求fe)-i++n 的最小正周期 5.已知△ABC中∠A=30°，AB=2,BC=V2,求AC= 6.A为复平面内一定点，日=2，同=3，a与B夹角为60， AP=xa+yB,0≤x,y≤1，求P所围成的面积 7.P点在复平面内坐标为(a,b),将OP顺时针旋转90°得到O瓦，Q点坐标 为 8.x2+y2-ay+x+y=1是双曲线，求a的取值范围 9.(暂缺) 10设=m头+in器求-h-h-…+巾-”川— 11.一只蚂蚁从一个边长为1的正方体顶点沿棱长爬行，爬过所有棱长且回 到原点的最短路径为 12.x,y∈R,cos(x+y)+cosx+cosy的取值范围 13.e>Cx,对任意x>0均成立，求C的范围 14.x到x,分别为22,23,35,40,45,50,55，求x-(t∈R)的最小值 15.求x++1 的常数项系数 16.8本不同书分给5个人，3个人各拿一本，1个人拿两本，1个人拿三本，共 种分配法， 17.A、B事件相互独立，且P(A)=P(B),P(AUB)=0.64,则P(A)= 18.甲乙两人比赛，甲胜概率为p,乙胜概率为1-p,一方比另一方多胜两 局判胜，则甲胜的概率为 二、(10分)给正六面体8个顶点、6个面中点编号1~14，是否能让每个面上 顶点与中心编号和相等？并证明之 2024年中国科学技术大学少年班创新班入围考试数学参考答案 一、填空题（本题共18小题，每小题5分，共90分） 1设a,b∈R,则下列说法正确的是_▲ 1a≠0是a>0的充要条件： ②若a,b都是无理数，则ab也是无理数 ③a,beZ,使得0≤a+b<1 ④3aeQ使得Va2+1∈Q 解：①显然正确，②显然错误； 对于③，设a=m+c,其中m是a的整数部分，c是a的小数部分，则取b=一m,此时有 a+b=m+c+b=c∈[0，) 对于④，取4=3即可粥选@③@ 4 2若S=a1d<24.s=alr<25=a1og号<g则6nsu8=△ 所：写=(w85=0og,203=0写U0树.国光客美比核1g,2号的夫小幸 实上3-5>8=2，周先og,2<号周光（低nSUS=0+网） 3曲线x2+y2=2|x-2y所围成的封闭图形的面积是▲ 解：注意到该图形同时关于x,y轴对称，国此只考虑第一尊很内的情形在第一象限内方程可 整理为(x-)+0+少=2，其在第一象限内是}圆去掉一个等腰直角三角形而成的图形， 4 其面积为π：(W2}-】22=花-1.因此整个图形的面积是2π-4. 2 4函数代四如+s血尊+s血的最小正周期是人 3 解：一方面，注意到 f(x+24π)sin-(x+24π)+sin-(x+24π)+sin-(x+24π)Ff(x) 因此24π是f(x)的一个周期.另一方而，注意到若f(x)是周期函数，则f'(x)也是周期函 载考在国=血宁如了+血gi闭-s +3Cos+cos x Ix Ix 13 ,等号成立 3 34412 =2k 2 当且仅当 =2k,r时成立，其中k,k3,k∈Z,解得x=24x,k∈Z,这就说明了24r是 4 =2kπ ∫(x)的最小正周期 5在AMBc中，A=云c=2a=5则b=人 解：设AC=x,期 =c0sA=+42,解得x=5+1或5-. 2 2x2 6点A是平面上一点，若向量m,n满足引m上2,3，m与的夹角为无，若向量AP满足 AP=xm+yn(0≤x,y≤1)则点P的轨迹所覆盖的面积是▲ 解：区域应是以m,n为邻边的平行四边形，其面积是S=2·3·sin60°=3V3 7P(a,b)是平面上一点，将OP绕着点O顺时针旋转90°得到OQ,则Q的坐标是_▲ cos(- -sin(- 解 因此gb,-a) sin(-) cos(- 8若曲线x2+y2-y+x+y-1=0是双曲线则a的取值范围是▲ 解：考察一般情况，对于二次曲线2+by+2+d+y+∫=0，定义其判别式为 △=b2-4c,若△<0则是横圆或圆：若△=0则是抛物线：若△>0则是双曲线. 在本题中，△=a2-4>0,解得a∈(-0，-2)U(2,+∞) 9在空间直角坐标系中，A1,0,I),B(I,1,0),C(0,1,-1),D(1,1,1),则点D到平面ABC的距离 是▲一 解：AB=(0,L,-1),AC=(-1,山，-2)，设平面ABC的一个