专题(5) 比例式与等积式的证明技巧-【黄冈金牌之路·练闯考】2022-2023学年九年级数学下册作业课件(人教版2012)

数学 九年级下册 人教版 练闯考 专题(五)　比例式与等积式的证明技巧 第二十七章　相似 类型一　三点定形法 要证明的比例式的四条线段恰好是两个三角形的对应边时，可直接用“三点定形法”找相似三角形． 1．(教材P58复习题T9变式)如图，AD，BE是△ABC的两条高． (1)求证：CE·CA＝CD·CB； (2)若CE＝5，CB＝13，求 eq \f(DE,AB) 的值． 解：(1)证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，而∠C＝∠C，∴△ADC∽△BEC，∴ eq \f(CA,CB) ＝ eq \f(CD,CE) ，∴CE·CA＝CD·CB (2)由(1)知 eq \f(CD,CE) ＝ eq \f(CA,CB) ，而∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴ eq \f(DE,AB) ＝ eq \f(CE,CB) ＝ eq \f(5,13) 类型二　等比代换法(找中间比) 要证明的比例式无法直接通过平行或相似得到时，往往要找中间比进行代换． 2．如图，点P为平行四边形ABCD的对角线BD上任意一点，过点P的直线交AD于点M，交BC于点N，交BA的延长线于点E，交DC的延长线于点F.求证：PE·PM＝PF·PN. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△BPE∽△DPF，△BPN∽△DPM，∴ eq \f(PE,PF) ＝ eq \f(PB,PD) ， eq \f(PB,PD) ＝ eq \f(PN,PM) ，则 eq \f(PE,PF) ＝ eq \f(PN,PM) ，即PE·PM＝PF·PN 类型三　等线段代换法 从待证的结论中难以找到相似三角形时，往往可用相等的线段去替换结论中的某些线段，再用“三点定形法”找相似三角形． 3．在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，若点P是边AD上一点，且PE⊥EC.求证： eq \f(AE,DE) ＝ eq \f(AP,AB) . 证明：∵AE⊥BD，PE⊥EC，∴∠AED＝∠PEC＝90°，∴∠AEP＝∠DEC，∵∠EAD＋∠ADE＝∠ADE＋∠CDE＝90°，∴∠EAD＝∠CDE，∴△AEP∽△DEC，∴ eq \f(AE,DE) ＝ eq \f(AP,CD) ，∵AB＝CD，∴ eq \f(AE,DE) ＝ eq \f(AP,AB) 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F，求证：BP2＝PE·PF. 证明：连接CP.∵AB＝AC，AD是中线，∴∠BAP＝∠CAP，而AP＝AP，∴△ABP≌△ACP，∴BP＝CP，∠ABP＝∠ACP.∵AB∥CF，∴∠ABP＝∠F，∴∠PCE＝∠F，而∠CPE＝∠FPC，∴△PCE∽△PFC，∴ eq \f(CP,PF) ＝ eq \f(PE,CP) ，∴CP2＝PE·PF，则BP2＝PE·PF 类型四　等积代换法 常借助于射影定理(双垂形)的基本图形和结论找中间积． 5．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证： eq \f(AE,AF) ＝ eq \f(AC,AB) . 证明：易证△ADE∽△ABD，得AD2＝AE·AB，同理证△ADC∽△AFD，可得AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC，∴ eq \f(AE,AF) ＝ eq \f(AC,AB) $$