解答题03立体几何（八大考点+真题模拟题练）-2024年高中数学二轮选填及解答突破训练宝典（新高考专用）

解答题03立体几何 【考点01证明平行】 【例1】如图，四棱柱的底面是边长为的正方形，侧面底面，，是的中点．    求证：平面； 【例2】如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，过点的平面分别与棱，，相交于，，点，其中，分别为棱，的中点． 求的值； 【变式1-1】如图，在直三棱柱中，，点分别在棱上，为的中点.    在平面内，过作一条直线与平面平行，并说明理由； 【变式1-2】如图，已知为等腰梯形，点为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，，．    求证：平面； 【变式1-3】如图，在三棱柱中，平面是线段上的一个动点，分别是线段的中点，记平面与平面的交线为. 求证：； 【考点02证明垂直】 【例3】如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，. 证明：平面平面； 【例4】如图，P为圆锥的顶点，为圆锥底面的直径，为等边三角形，O是圆锥底面的圆心．为底面圆O的内接正三角形，且边长为，点E为线段中点．    求证：平面平面； 【变式2-1】如图，多面体ABCDEF是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥A-BCDE的所有棱长均为. 在棱DE上找一点G，使得面面AFG，并给出证明; 【变式2-2】如图，已知三棱锥平面，点是点在平面内的射影，点在棱上，且满足.    求证：； 【变式2-3】如图，在几何体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为平行四边形，四边形为菱形，为棱的中点，点在棱上，平面.    证明平面； 【考点03直线与平面夹角问题】 【例5】如图，三棱柱中，为底面的重心，． (1)求证：∥平面； (2)若底面，且三棱柱的各棱长均为6，设直线与平面所成的角为，求的值． 【例6】如图，在三棱柱中，侧面和均为正方形，，平面⊥平面，点M是的中点，N为线段AC上的动点； (1)若直线平面BCM，求证：N为线段AC的中点； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【变式3-1】如图，已知平行六面体的棱长均为.    (1)证明：； (2)延长到，使，求直线与平面所成角的正弦值. 【变式3-2】在五棱锥中，，，平面平面.    (1)求证：； (2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【变式3-3】在长方体中， 是上的点,，且的长成等比数列，又是所在的直线上的动点.    (1)求证：平面 (2)若，求与平面所成的角的正弦值的最大值. 【考点04平面与平面夹角问题】 【例7】如图，在底面为菱形的直四棱柱中，，分别是的中点． (1)求证：； (2)求平面与平面所成夹角的大小． 【例8】已知在多面体中，平面平面，四边形为梯形，且，四边形为矩形，其中M和N分别为和的中点，． (1)证明：平面平面； (2)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 【变式4-1】如图，在四棱锥中，底面为梯形，，为等边三角形. (1)证明：平面. (2)若为等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值. 【变式4-2】如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，设平面平面. (1)作出（不要求写作法）； (2)线段上是否存在一点，使平面？请说明理由； (3)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【变式4-3】如图，在直四棱柱中，底面为矩形，，高为，O，E分别为底面的中心和的中点． (1)求证：平面平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值． 【考点05空间距离问题】 【例9】如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点    (1)证明：平面； (2)若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离. 【例10】如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，点分别为的中点. (1)证明：； (2)求点到平面的距离. 【变式5-1】如图，直四棱柱的底面为平行四边形，分别为的中点. (1)证明：平面； (2)若底面为矩形，，异面直线与所成角的余弦值为，求到平面的距离. 【变式5-2】在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.    (1)求证：平面； (2)求直线PB与平面所成角的正弦值； (3)求点到PD的距离. 【变式5-3】如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点．    (1)证明：平面； (2)当直线BP与平面所成的角正弦值为时，求点D到平面的距离． 【考点06空间几何体积问题】 【例11】已知三棱柱，如图所示，是，上一动点，点、分别是、的中点，，． (1)求证：平面； (2)当平面，且时，求三棱锥的体积． 【例12】如图，已知五面体，其中内接于圆，是圆的直径，四边形为平行四边形，且平面．    (1)证明：； (2)若，，且二面角所成角的正切值是2，试求该几何体的体积． 【变式6-1】如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，分别是，的中点，点是线段上动点且恒成立. (1)证明：； (2)