专题12 四点共圆模型&专题13 几何图形折叠模型-【一战成名新中考】2024河北中考数学·培优册

培优册·河北数学 模 型 方 法 篇 专 题 十 二 　 四 点 共 圆 模 型 专题十二　四点共圆模型 模型 四点共圆模型 图形 原图 解图 原图 解图 分析 定圆心 四边形ＡＢＣＤ任意两边垂直平分线的 交点 △ＡＢＣ或△ＡＢＰ任意两边垂直平分线 的交点 找半径 交点到点Ｂ、Ｄ的距离 交点到点Ａ、Ｂ、Ｃ的距离 结论 已知动角∠Ａ＋动角∠Ｃ＝１８０°，可得 对角互补四边形的四个顶点共圆（圆 内接四边形性质） 已知ＡＢ的长度为定值，且线段 ＡＢ所 对同侧动角∠Ｐ＝∠Ｃ，可得共边三角 形且边所对角相等的四个顶点共圆 （同弧所对的圆周角相等） 　　　　　　　　　　　　　　　　１．如图，ＡＢ＝ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ，则∠ＡＣＢ的度数 是　３０°　． 第１题图 ２．（优质原创）如图，在等腰三角形纸片 ＡＢＣ 中，ＡＢ＝ＡＣ，将该纸片翻折，使得点 Ｃ落在 边ＡＢ的Ｆ处，折痕为ＤＥ，点Ｄ，Ｅ分别在边 ＢＣ，ＡＣ上，∠ＡＦＤ＝∠ＤＥＦ，若 ＤＥ＝４，ＢＤ ＝９．求线段ＤＦ的长． 第２题图 【自主作答                                       】 ６１ 培优册·河北数学 模 型 方 法 篇 专 题 十 三 　 几 何 图 形 折 叠 模 型 专题十三　几何图形折叠模型 几种常考的矩形折叠模型 模型（图形） 结论 将矩形ＡＢＣＤ先上下对折，展开后再将顶点 Ａ折叠到 折痕ＥＦ上 ①△ＡＢＧ为　等边　三角形； ②∠ＣＢＧ＝　３０°　； ③ＧＨＡＢ＝　　　　 将矩形ＡＢＣＤ的顶点Ｂ沿着直线ＡＥ折叠到对角线ＡＣ 上，点Ｂ的对称点为点Ｆ，设ＡＢ＝ａ，ＢＣ＝ｂ，ＢＥ＝ｘ ①ＡＦ＝ＡＢ＝ａ，ＣＦ＝ＡＣ－ＡＢ＝ ａ２＋ｂ槡 ２－ａ； ②ＥＦ⊥ＡＣ； ③△ＣＥＦ∽△ＣＡＢ； ④在 Ｒｔ△ＣＦＥ中，有 ＣＥ２ ＝ＥＦ２ ＋ ＣＦ２，即（ｂ－ｘ）２＝ｘ２＋（ ａ２＋ｂ槡 ２－ ａ）２ 将矩形ＡＢＣＤ的顶点Ｃ沿着直线ＢＥ折叠到边ＡＤ上， 设ＡＢ＝ａ，ＢＣ＝ｂ ①ＢＣ′＝ＢＣ＝ｂ，ＡＣ′＝ ｂ２－ａ槡 ２； ②△ＡＢＣ′∽△ＤＣ′Ｅ，即ＡＣ′ＤＥ＝ ＢＣ′ Ｃ′Ｅ ＝ＡＢＤＣ′ 　 将矩形 ＡＢＣＤ的顶点 Ｃ沿着直线 ＥＦ折叠到与顶点 Ａ 重合的位置，设ＡＢ＝ａ，ＢＣ＝ｂ，ＢＥ＝ｘ ①四边形ＡＥＣＦ是　菱形　； ②Ｄ′，Ｆ，Ｃ三点共线； ③点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｄ′在同一个圆上； ④△ＡＤ′Ｆ≌△ＣＤＦ≌△ＡＢＥ； ⑤ＤＤ′∥ＡＣ； ⑥在 Ｒｔ△ＡＢＥ中，有 ＢＥ２ ＋ＡＢ２ ＝ ＡＥ２，即ｘ２＋ａ２＝（ｂ－ｘ）２ 将矩形ＡＢＣＤ的顶点Ｂ，Ｃ分别沿着直线ＡＧ，ＥＧ折叠， 使点Ｂ，Ｃ恰好落在ＡＥ上的同一点Ｆ ①Ａ，Ｆ，Ｅ三点共线； ②ＢＧ＝ＦＧ＝ＣＧ，即点 Ｇ为 ＢＣ的 中点； ③△ＡＢＧ∽△ＧＣＥ； ④∠ＡＧＥ＝９０°，ＡＧ２＋ＧＥ２＝ＡＥ２； ⑤ＧＦ⊥ＡＥ，△ＡＦＧ∽△ＧＦＥ∽△ＡＧＥ ７１ 培优册·河北数学 模 型 方 法 篇 专 题 十 三 　 几 何 图 形 折 叠 模 型 　　　　　　　　　　　　　　　　１．把矩形纸片 ＡＢＣＤ沿 ＢＥ折叠，使得 ＢＡ边 与ＢＣ边重合，然后再沿着ＢＦ折叠，使得折 痕ＢＥ也与ＢＣ边重合，展开后如图所示，则 ∠ＤＦＢ的度数为 （　Ｃ　） 第１题图 Ａ．１２２．５° Ｂ．１１７．５° Ｃ．１１２．５° Ｄ．１２０° ２．（优质原创）如图，有一块矩形纸片 ＡＢＣＤ， ＡＢ＝８，ＡＤ＝６．将纸片折叠，使得 ＡＤ边落 在ＡＢ边上，折痕为 ＡＥ，再将△ＡＥＤ沿 ＤＥ 向右翻折，ＡＥ与 ＢＣ的交点为 Ｆ，则 ＣＦ的 长为 （　Ｄ　） 第２题图 Ａ．１２ Ｂ．１ Ｃ． ３ ２ Ｄ．２ ３．如图，将半径为８的⊙Ｏ沿 ＡＢ折叠， ) ＡＢ恰 好经过与ＡＢ垂直的半径 ＯＣ的中点 Ｄ，则 折痕ＡＢ的长为 （　Ｂ　） 第３题图 Ａ．２槡１５ Ｂ．４槡１５ Ｃ．８ Ｄ．１０ ４．（优质原创）在△ＡＢＣ中，已知∠Ａ＝８０°， ∠Ｃ＝３０°，甲、乙、丙三人用不同的折叠方 式将△ＣＤＥ沿 ＤＥ折叠得到△Ｃ′ＤＥ，现对 三人折叠后产生的夹角关系进行探究： 甲：将△ＣＤＥ沿 ＤＥ折叠在四边形 ＡＤＥＢ 内，如图①，求得∠１＋∠２的和为６０°； 乙：将△ＣＤＥ沿 ＤＥ折叠覆盖∠Ａ，如图②， 求得∠１＋∠２的和为５０°； 丙：将△ＣＤＥ沿ＤＥ斜向上折叠，如图③，发 现∠２－∠１的值与∠Ｃ有关． 下列说法正确的是 （　Ｃ　） 图① 　 图② 图③ 第４题图 Ａ．仅甲的说法正确 Ｂ．仅丙的说法错误 Ｃ．甲、乙、丙的说法都正确 Ｄ．甲、乙、丙的说法都错误 ５．如图，已知在△ＡＢＣ中，∠ＣＡＢ＝∠Ｂ＝３０°， ＡＢ＝２槡３，点Ｄ在ＢＣ边上，把△ＡＢＣ沿ＡＤ 翻折使 ＡＢ与