专题10 定角定弦模型&专题11 定角定高模型-【一战成名新中考】2024河北中考数学·培优册

培优册·河北数学 模 型 方 法 篇 专 题 九 　 定 点 定 长 模 型 专题九　定点定长模型 模型 定点定长模型 图形 原图 解图 分析 定圆心 三条等长线段的公共点Ａ 找半径 ＡＢ（或ＡＣ或ＡＰ） 结论 已知平面内一定点Ａ和一动点Ｐ，若ＡＰ长度固定，且ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＰ，则动点Ｐ 的轨迹是以点Ａ为圆心，ＡＰ长为半径的圆 　　　　　　　　　　　　　　　　１．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，已知ＡＢ＝３，ＢＣ＝４， 点Ｐ是 ＢＣ边上一动点（点 Ｐ不与 Ｂ，Ｃ重 合），连接ＡＰ，作点 Ｂ关于直线 ＡＰ的对称 点Ｍ，则线段ＭＣ的最小值为 （　Ａ　） 第１题图 Ａ．２ Ｂ．５２ Ｃ．３ Ｄ．槡１０ ２．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ⊥ＢＣ，ＡＢ＝６，ＢＣ＝ ４，Ｐ是△ＡＢＣ内部的一个动点，且满足 ∠ＰＡＢ＝∠ＰＢＣ，连接 ＣＰ，则 ＣＰ的最小值 为　２　． 第２题图                  专题十　定角定弦模型 模型 定角定弦模型 图形 原图 解图 分析 定圆心 △ＡＢＰ任意两边垂直平分线的交点 找半径 交点到点Ａ，Ｂ的距离 结论 在⊙Ｏ中，ＡＢ的长度为定值（即定弦），Ｐ为动点，且∠Ｐ为定值，由同弧或等 弧所对的圆周角相等，可知弦ＡＢ在同弧或等弧上所对的圆周角相等 ４１ 培优册·河北数学 模 型 方 法 篇 专 题 十 一 　 定 角 定 高 模 型 　　　　　　　　　　　　　　　　１．如图，在锐角三角形ＡＢＣ中，ＢＣ＝８，ｓｉｎＡ＝ ４ ５，ＢＮ⊥ＡＣ于点 Ｎ，ＣＭ⊥ＡＢ于点 Ｍ，连接 ＭＮ，则△ＡＭＮ面积的最大值是　　　　． 第１题图 ２．如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，Ｍ是 ＡＤ 的中点，点 Ｐ是 ＣＤ上一个动点，当∠ＡＰＭ 的度数最大时，ＣＰ的长为　４－２槡２　． 第２题图                专题十一　定角定高模型 模型 定角定高模型 图形 原图 解图 分析 定圆心 △ＡＢＣ三边垂直平分线的交点 找半径 交点到点Ａ、Ｂ、Ｃ的距离 结论 已知△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ的值为定值（即定角），ＢＤ为边ＡＣ上的高，则点Ｂ可 看作在圆上运动，当Ｂ、Ｏ、Ｈ三点共线时，ＡＣ存在最小值 　　　　　　　　　　　　　　　　１．（优质原创）已知在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝ １２０°，ＢＤ⊥ＡＣ于点Ｄ，ＢＤ＝３，则ＡＣ的最小 值是 （　Ｂ　） 第１题图 Ａ．５ Ｂ．６槡３ Ｃ．９槡３ Ｄ．１８槡３ ２．如图，已知矩形 ＡＢＣＤ，ＡＢ＝１０，ＢＣ＝１８，Ｐ 为ＡＢ上一点，且ＡＰ∶ＢＰ＝２∶３，点Ｅ，Ｑ分别 为ＢＣ，ＡＤ上的动点，且满足∠ＱＰＥ＝６０°， 则△ＱＰＥ面积的最小值为　２４槡３　． 第２题图                              ５１ 一战成名·河北数学 培 优 册 ＋∠ＮＤＥ＝∠ＮＤＥ＋∠ＮＤＦ，∴∠ＭＤＥ＝∠ＮＤＦ，∵∠ＤＭＥ ＝∠ＤＮＦ＝９０°，∴△ＤＭＥ≌△ＤＮＦ（ＡＳＡ），∴ＭＥ＝ＮＦ，在 Ｒｔ△ＡＤＭ中，ＡＤ＝２，∠Ａ＝６０°，∴ＡＭ＝１，同理，ＣＮ＝１，∴ ＭＥ＝ＡＢ－ＡＭ－ＢＥ＝２，∴ＮＦ＝２，∴ＣＦ＝１． 图① 　　 图② 第２题解图 ３． 槡２ １０　【解析】∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形，∴ＯＡ＝ＯＢ， ∠ＤＡＯ＝∠ＯＢＡ＝４５°，∴∠ＯＡＭ ＝∠ＯＢＮ＝１３５°，∵ ∠ＥＯＦ＝９０°，∠ＡＯＢ＝９０°，∴∠ＡＯＭ＝∠ＢＯＮ，∴△ＯＡＭ≌ △ＯＢＮ（ＡＳＡ），∴ＯＭ＝ＯＮ，∴△ＯＭＮ是等腰直角三角形． 如解图，过点Ｏ作ＯＨ⊥ＡＤ于点 Ｈ，∵正方形的边长为４， ∴ＯＨ＝ＡＨ＝２，∵Ｅ为 ＯＭ的中点，∴Ａ为 ＨＭ的中点，∴ ＨＭ＝２ＡＨ＝４，∴ＯＭ＝ ＯＨ２＋ＨＭ槡 ２＝ ２２＋４槡 ２ 槡＝２５，∴ ＭＮ 槡＝２ＯＭ 槡＝２ １０． 第３题解图 　 第４题解图 ４．４　【解析】如解图，过点 Ｄ作 ＤＭ⊥ＡＢ于点 Ｍ，过点 Ｆ作 ＦＮ⊥ＢＣ交ＣＢ的延长线于点 Ｎ，则 ＳＡＢＣＤ＝ＡＢ·ＤＭ＝ＢＣ ·ＦＮ，∵ＡＤ∶ＡＢ＝ＢＣ∶ＡＢ＝２∶３，∴ＤＭ∶ＦＮ＝２∶３．在四边形 ＤＯＧＣ中，∵∠ＤＯＧ＋∠Ｃ＝１８０°，∴∠ＯＤＣ＋∠ＯＧＣ＝ １８０°，∴∠ＯＤＣ＝∠ＦＧＮ，∵ＣＤ∥ＡＢ，∴∠ＯＤＣ＝∠ＤＥＭ， ∴∠ＤＥＭ＝∠ＦＧＮ，又∵∠ＤＭＥ＝∠Ｎ＝９０°，∴△ＤＭＥ∽ △ＦＮＧ，∴ＤＥ∶ＦＧ＝ＤＭ∶ＦＮ＝２∶３，∴ＦＧ＝６，∴ＤＥ＝２３ＦＧ ＝４． 专题八　点圆、线圆最值模型 １．Ｃ　【解析】如解图，过点Ｏ作ＯＨ⊥ＡＢ于点Ｈ，连接ＯＡ，延 长ＨＯ交⊙Ｏ于点Ｃ，此时△ＡＢＣ的面积最大，∴ＡＨ＝ＢＨ＝ １ ２ＡＢ＝ １ ２ 槡 槡×２３＝３，∴ＨＯ＝ ＡＯ ２－ＡＨ槡 ２＝ ２２