专题8 点圆、线圆最值模型&专题9 定点定长模型-【一战成名新中考】2024河北中考数学·培优册

书 培优册·河北数学 模 型 方 法 篇 专 题 八 　 点 圆  线 圆 最 值 模 型 专题八　点圆、线圆最值模型（２０１５．２６） 模型 点圆最值 在平面内一定点Ａ和⊙Ｏ上一动点 Ｂ的连线上，当连线过圆心 Ｏ时，线段 ＡＢ有最大 值和最小值，设ＯＡ＝ｄ，⊙Ｏ的半径为ｒ 图形 圆内一定点到圆上动点最值 圆外一定点到圆上动点最值 分析 ＡＢ最小值为 ＡＢ１＝ ｒ－ｄ ＡＢ最大值为 ＡＢ２＝ ｒ＋ｄ ＡＢ最小值为 ＡＢ１＝ ｄ－ｒ ＡＢ最大值为ＡＢ２＝ｄ＋ｒ 模型 线圆最值 在平面内一定直线ｍ和⊙Ｏ上一动点Ｐ，当直线与圆的位置不同时，点Ｐ到直线的距 离有最大值和最小值，设ＯＡ＝ｄ，⊙Ｏ的半径为ｒ 图形 直线与圆相交 直线与圆相离 分析 点Ｐ１到直线ｍ有最獉 小值 獉獉 为０ 点 Ｐ２到直线 ｍ有 最大值 獉獉獉 Ｐ２Ａ＝ｒ＋ｄ 点Ｐ１到直线ｍ有最獉 小值 獉獉 Ｐ１Ａ＝ｄ－ｒ 点Ｐ２到直线ｍ有最大值獉獉獉 Ｐ２Ａ＝ｒ＋ｄ 　　　　　　　　　　　　　　　　１．（优质原创）如图，点Ａ，Ｂ是半径为２的⊙Ｏ 上的两点，且 ＡＢ＝２槡３，Ｃ为⊙Ｏ上一动点 （不与点Ａ、Ｂ重合），则△ＡＢＣ面积的最大 值为 （　Ｃ　） Ａ．槡３　Ｂ．２槡３　Ｃ．３槡３　Ｄ．３槡３＋ ４π ３ 第１题图 　　 第２题图 ２．（２０２３台州）如图，⊙Ｏ的圆心 Ｏ与正方形 的中心重合，已知⊙Ｏ的半径和正方形的 边长都为４，则圆上任意一点到正方形边上 任意一点距离的最小值为 （　Ｄ　） Ａ．槡２ Ｂ．２ Ｃ．４＋２槡２ Ｄ．４－２槡２ ３．（创新考法）如图，正方形 ＯＡＢＣ中，Ａ（８， ０），Ｂ（８，８），点 Ｄ坐标为（－６，０），连接 ＣＤ，点Ｐ为边ＯＡ上一个动点，连接ＣＰ，过 点Ｄ作ＤＥ⊥ＣＰ于点Ｅ，连接ＡＥ，当ＡＥ取 最小值时，点Ｅ的纵坐标为 （　Ｂ　） 第３题图 Ａ．３－１５槡８９８９ Ｂ．４－ ２０槡１３７ １３７ Ｃ．１１３ Ｄ． １５                             ４ ３１ 培优册·河北数学 模 型 方 法 篇 专 题 九 　 定 点 定 长 模 型 专题九　定点定长模型 模型 定点定长模型 图形 原图 解图 分析 定圆心 三条等长线段的公共点Ａ 找半径 ＡＢ（或ＡＣ或ＡＰ） 结论 已知平面内一定点Ａ和一动点Ｐ，若ＡＰ长度固定，且ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＰ，则动点Ｐ 的轨迹是以点Ａ为圆心，ＡＰ长为半径的圆 　　　　　　　　　　　　　　　　１．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，已知ＡＢ＝３，ＢＣ＝４， 点Ｐ是 ＢＣ边上一动点（点 Ｐ不与 Ｂ，Ｃ重 合），连接ＡＰ，作点 Ｂ关于直线 ＡＰ的对称 点Ｍ，则线段ＭＣ的最小值为 （　Ａ　） 第１题图 Ａ．２ Ｂ．５２ Ｃ．３ Ｄ．槡１０ ２．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ⊥ＢＣ，ＡＢ＝６，ＢＣ＝ ４，Ｐ是△ＡＢＣ内部的一个动点，且满足 ∠ＰＡＢ＝∠ＰＢＣ，连接 ＣＰ，则 ＣＰ的最小值 为　２　． 第２题图                  专题十　定角定弦模型 模型 定角定弦模型 图形 原图 解图 分析 定圆心 △ＡＢＰ任意两边垂直平分线的交点 找半径 交点到点Ａ，Ｂ的距离 结论 在⊙Ｏ中，ＡＢ的长度为定值（即定弦），Ｐ为动点，且∠Ｐ为定值，由同弧或等 弧所对的圆周角相等，可知弦ＡＢ在同弧或等弧上所对的圆周角相等 ４１ 一战成名·河北数学 培 优 册 ＋∠ＮＤＥ＝∠ＮＤＥ＋∠ＮＤＦ，∴∠ＭＤＥ＝∠ＮＤＦ，∵∠ＤＭＥ ＝∠ＤＮＦ＝９０°，∴△ＤＭＥ≌△ＤＮＦ（ＡＳＡ），∴ＭＥ＝ＮＦ，在 Ｒｔ△ＡＤＭ中，ＡＤ＝２，∠Ａ＝６０°，∴ＡＭ＝１，同理，ＣＮ＝１，∴ ＭＥ＝ＡＢ－ＡＭ－ＢＥ＝２，∴ＮＦ＝２，∴ＣＦ＝１． 图① 　　 图② 第２题解图 ３． 槡２ １０　【解析】∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形，∴ＯＡ＝ＯＢ， ∠ＤＡＯ＝∠ＯＢＡ＝４５°，∴∠ＯＡＭ ＝∠ＯＢＮ＝１３５°，∵ ∠ＥＯＦ＝９０°，∠ＡＯＢ＝９０°，∴∠ＡＯＭ＝∠ＢＯＮ，∴△ＯＡＭ≌ △ＯＢＮ（ＡＳＡ），∴ＯＭ＝ＯＮ，∴△ＯＭＮ是等腰直角三角形． 如解图，过点Ｏ作ＯＨ⊥ＡＤ于点 Ｈ，∵正方形的边长为４， ∴ＯＨ＝ＡＨ＝２，∵Ｅ为 ＯＭ的中点，∴Ａ为 ＨＭ的中点，∴ ＨＭ＝２ＡＨ＝４，∴ＯＭ＝ ＯＨ２＋ＨＭ槡 ２＝ ２２＋４槡 ２ 槡＝２５，∴ ＭＮ 槡＝２ＯＭ 槡＝２ １０． 第３题解图 　 第４题解图 ４．４　【解析】如解图，过点 Ｄ作 ＤＭ⊥ＡＢ于点 Ｍ，过点 Ｆ作 ＦＮ⊥ＢＣ交ＣＢ的延长线于点 Ｎ，则 ＳＡＢＣＤ＝ＡＢ·ＤＭ＝ＢＣ ·ＦＮ，∵ＡＤ∶ＡＢ＝ＢＣ∶ＡＢ＝２∶３，∴ＤＭ∶ＦＮ＝２∶３．在四边形 ＤＯＧＣ中，∵∠ＤＯＧ＋∠Ｃ＝１８０°，∴