专题6 手拉手模型&专题7 对角互补模型-【一战成名新中考】2024河北中考数学·培优册

培优册·河北数学 模 型 方 法 篇 专 题 六 　 手 拉 手 模 型 专题六　手拉手模型 情形 图示 结论 △ＡＢＣ和△ＡＤＥ均 为等腰三角形，且 ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ △ＡＢＤ≌△ＡＣＥ； ＢＤ＝ＣＥ； ＢＤ与ＣＥ之间夹的较 小的角等于∠ＢＡＣ △ＡＢＣ和△ＤＣＥ均 为等边三角形 △ＢＣＤ≌△ＡＣＥ； ＢＤ＝ＡＥ； ∠ＡＭＢ＝∠ＢＡＣ＝６０° △ＡＢＯ和△ＥＦＯ均 为等腰直角三角形 △ＡＥＯ≌△ＢＦＯ； ＡＥ＝ＢＦ； ＡＥ⊥ＢＦ 四边形 ＡＢＣＤ和四 边形 ＡＥＦＧ均为正 方形 △ＡＢＧ≌△ＡＤＥ； ＢＧ＝ＤＥ； ＢＧ⊥ＤＥ 　　　　　　　　　　　　　　　　１．如图，在 △ＡＢＣ和 △ＥＤＣ中，∠ＡＢＣ＝ ∠ＥＤＣ＝９０°，∠ＢＡＣ＝∠ＤＥＣ＝３０°，连接 ＢＤ，ＡＥ，若ＢＤ＝２，则ＡＥ＝　４　，直线 ＢＤ 与直线ＡＥ的夹角为　６０　°． 第１题图 ２．（优质原创）如图，△ＡＢＣ和△ＡＤＥ都是等 腰直角三角形，即ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＥ，∠ＢＡＣ＝ ∠ＤＡＥ＝９０°，Ｂ，Ｃ，Ｄ在同一条直线上．若 ＡＢ＝槡２，ＡＤ＝２，则ＣＤ＝　槡３－１　． 第２题图 ３．如图，四边形ＡＢＣＤ和四边形ＣＥＦＧ都是正 方形，连接 ＢＤ，ＢＧ，ＤＥ，若 ＢＤ＝ＢＧ，ＢＤ∥ ＣＧ，则∠ＢＤＥ＝　６０　°． 第３题图 ４．如图，边长为１的等边三角形 ＡＢＣ中，ＢＦ 是ＡＣ边上的中线，点Ｄ是线段ＢＦ上的动 点，连接 ＡＤ，在 ＡＤ的右侧作等边三角形 ＡＤＥ，连接 ＢＥ，则 ＡＥ＋ＢＥ的最小值 是　槡３　． 第４题图                                  ０１ 培优册·河北数学 模 型 方 法 篇 专 题 七 　 对 角 互 补 模 型 专题七　对角互补模型 情形 图示 结论 含直角 一组邻 边相等 （ＡＤ＝ＣＤ） 邻边均 不相等 作垂直构全等 △ＡＥＤ≌△ＣＦＤ 旋转构等腰直角三角形 △ＢＤＧ是等腰直角三角形， ＤＢ＝ＤＧ 作垂直构相似 △ＡＥＤ∽△ＣＦＤ 不含 直角 一组邻 边相等 （ＡＤ＝ＣＤ） 邻边均 不相等 作垂直构全等 △ＡＥＤ≌△ＣＦＤ 旋转构等腰三角形 △ＢＤＧ是等腰三角形，ＤＢ ＝ＤＧ 作垂直构相似 △ＡＥＤ∽△ＣＦＤ １１ 培优册·河北数学 模 型 方 法 篇 专 题 七 　 对 角 互 补 模 型 拓展模型———十字模型 基本 图形 正方形 矩形 辅助线 作法 — 过点 Ｇ作 ＧＨ⊥ ＡＢ于点Ｈ 过点Ｈ作ＨＮ⊥ＢＣ于点Ｎ，过点Ｇ作ＧＭ⊥ＡＢ 于点Ｍ 结论 ＤＥ＝ＡＦ， △ＡＤＥ≌△ＢＡＦ ＧＥ＝ＡＦ， △ＧＨＥ≌△ＡＢＦ ＧＥ＝ＨＦ， △ＨＦＮ≌△ＧＥＭ △ＨＦＮ∽△ＧＥＭ， 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 相似比为矩形邻边之比 典例精 讲 例　（优质原创）如图①，正方形 ＡＢＣＤ的边长为 ３，Ｏ是对角线ＡＣ上一点，且ＣＯ＝２ＡＯ，Ｅ是边ＣＤ 上一点，连接 ＯＥ，过点 Ｏ作 ＯＦ⊥ＯＥ，交 ＢＣ于 点Ｆ． （１）四边形ＣＥＯＦ的面积为　４　； 　 图① 　 图② 例题图 【思路提示】过点Ｏ分别作ＣＤ，ＢＣ的垂线，构造全等三角形，将四边形ＣＥＯＦ的面积转化为 一个以ＯＣ为对角线的正方形面积． （２）如图②，延长ＯＥ交ＡＤ的延长线于点Ｍ，延长ＯＦ交ＤＣ的延长线于点Ｎ，则ＯＭＯＮ＝　　　　． 【思路提示】过点Ｏ分别作 ＡＤ，ＤＣ的垂线，构造相似三角形，将所求比值转为相似三角形 的相似比． 　　　　　　　　　　　　　　　　１．多解法 獉獉獉 如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＢＣ＝ ５，点 Ｅ在对角线 ＡＣ上，连接 ＢＥ，作 ＥＦ⊥ ＢＥ，垂足为 Ｅ，直线ＥＦ交线段 ＤＣ于点 Ｆ， 则 ＥＦ ＢＥ＝　　　　． 第１题图 　　 第２题图 ２．多解法 獉獉獉 如图，等边三角形ＡＢＣ的边长为４， Ｄ是边ＡＣ的中点，Ｅ在边ＡＢ上，ＢＥ＝１，点 Ｆ在边ＢＣ的延长线上，且∠ＥＤＦ＝１２０°，则 ＣＦ的长为　１　． ３．如图，正方形 ＡＢＣＤ的对角线交于点 Ｏ，点 Ｅ，Ｆ分别在ＡＢ，ＢＣ上（ＡＥ＜ＢＥ），且∠ＥＯＦ＝ ９０°，ＯＥ，ＤＡ的延长线交于点 Ｍ，ＯＦ，ＡＢ的 延长线交于点Ｎ，连接ＭＮ．若正方形ＡＢＣＤ 的边长为４，Ｅ为ＯＭ的中点，则ＭＮ的长为 　２槡１０　． 第３题图 　　 第４题图 ４．如图，在ＡＢＣＤ中，ＡＤ∶ＡＢ