专题4 几何等面积法解题模型&专题5 一线三等角(含弦图)模型-【一战成名新中考】2024河北中考数学·培优册

培优册·河北数学 模 型 方 法 篇 专 题 四 　 几 何 等 面 积 法 解 题 模 型 专题四　几何等面积法解题模型 解题 方法 　　（ＡＢ＝ＡＣ） 结论：ＣＤ＝ＭＰ＋ＰＮ 证法１：等面积法．连接 ＡＰ，通 过 １ ２ＡＢ·ＣＤ＝ １ ２ＡＢ·ＰＭ＋ １ ２ＡＣ·ＰＮ得证 　　 证法２：角平分线转化法． 作 ＣＱ∥ＡＢ交 ＭＰ延长 线于点 Ｑ，通过 ＭＰ＋ＰＮ ＝ＭＰ＋ＰＱ＝ＣＤ得证 常见 图形 等边三角形 ＯＭ＋ＯＮ＝槡３２ＡＢ 　　 矩形 ＰＭ＋ＰＮ＝ＡＱ 　　 菱形 ＰＭ＋ＰＮ＝ＡＱ 　　 正方形 ＰＥ＋ＰＦ＝ＯＡ 思考：若点Ｏ是等边三角形ＡＢＣ的内部任意一点，则有什么样的结论？ 　　　　　　　　　　　　　　　　１．多解法 獉獉獉 如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１，Ｐ 是线段ＡＤ上的动点，ＰＥ⊥ＡＣ于点Ｅ，ＰＦ⊥ ＢＤ于点Ｆ，则ＰＥ＋ＰＦ的值为 （　Ｄ　） Ａ．槡２ Ｂ．４ Ｃ．２ Ｄ．槡 ２ ２ 第１题图 　　 第２题图 ２．（２０２３内江）出入相补原理是我国古代数学 的重要成就之一，最早是由三国时期数学 家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成 多块小图形，几何图形的总面积保持不变， 等于所分割成的小图形的面积之和”是该 原理的重要内容之一．如图，在矩形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ＝５，ＡＤ＝１２，对角线 ＡＣ与 ＢＤ交于 点Ｏ，点 Ｅ为 ＢＣ边上的一个动点，ＥＦ⊥ ＡＣ，ＥＧ⊥ＢＤ，垂足分别为点 Ｆ，Ｇ，则 ＥＦ＋ ＥＧ＝　　　　． ３．如图，在菱形 ＡＢＣＤ中，ＢＤ＝１２ｃｍ，ＡＣ＝ １６ｃｍ，直线ＥＦ⊥ＡＢ分别交两对边于点Ｅ， Ｆ，则ＥＦ的长为　　　　ｃｍ． 第３题图 　　 第４题图 ４．多解法 獉獉獉 （２０２３福建）如图，⊙Ｏ的半径为１， 运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近 似估计⊙Ｏ的面积，可得 π的估计值为 ３槡３ ２，若用圆内接正十二边形作近似估计， 可得π的估计值为　　　　                                ． ８ 培优册·河北数学 模 型 方 法 篇 专 题 五 　 一 线 三 等 角 ︵ 含 弦 图 ︶ 模 型 专题五　一线三等角（含弦图）模型 ［２０２３．２６（２）；２０２０．２６］ 情形 图示 结论 等角在线同侧 　 ［２０２３．２６（２）］ △ＡＣＨ∽△ＢＨＤ 若有一组边对应相等则全等 等角在线异侧 　 △ＡＨＣ∽△ＢＤＨ 若有一组边对应相等则全等 内弦图 △ＡＢＥ≌△ＢＣＦ≌ △ＣＤＧ≌△ＤＡＨ 外弦图 △ＡＨＥ≌△ＢＥＦ≌ △ＣＦＧ≌△ 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ＤＧＨ 典例精 讲 例　如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，点 Ｅ在边 ＡＢ上，在边 ＢＣ上找一点 Ｆ，使得∠ＥＦＤ＝ ∠Ｂ．若∠Ｂ＝９０°，ＡＢ＝２，ＢＣ＝４，ＢＦ∶ＦＣ＝１∶３，则ＡＥ＝　　　　． 【思路提示】当∠Ｂ＝９０°时，则存在一线三直角，利用相似列比例求解． 例题图 　　 第１题图 　　 第２题图 　　 第３题图 　　　　　　　　　　　　　　　　１．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ ＢＣ，过点 Ｂ作 ＢＥ⊥ＣＥ于点 Ｅ，过点 Ａ作 ＡＤ⊥ＣＥ于点 Ｄ，若 ＡＤ＝７，ＣＤ＝３，则 ＢＤ ＝　　　　． ２．如图，沿直线 ＤＥ折叠等边三角形纸片 △ＡＢＣ，使Ａ点落在ＢＣ边上任意一点Ｆ处 （不与Ｂ，Ｃ重合）．已知△ＡＢＣ边长为９，Ｄ 为 ＡＢ上一点，ＢＤ＝５，ＢＦ＝２，则 ＣＥ＝ 　　　　． ３．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝４５°，Ｄ为△ＡＢＣ 外一点，满足∠ＣＢＤ＝９０°，ＢＣ＝ＢＤ，若 Ｓ△ＡＣＤ＝４．５，则ＡＣ的长为　　　　            ． ９ 一战成名·河北数学 培 优 册 ∴△ＣＦＥ≌△ＣＢＥ（ＡＡＳ）， ∴ＣＦ＝ＣＢ， ∴ＣＤ＝ＤＦ＋ＦＣ＝ＡＤ＋ＢＣ． 方法５　旋转法（半角模型常用旋转法） △ＡＣＥ；等腰；∠ＤＡＥ ６．解：如解图，将△ＡＤＮ绕点Ａ顺时针旋转９０°得到△ＡＢＧ，则 ＡＮ＝ＡＧ，ＤＮ＝ＢＧ，∠ＤＡＮ＝∠ＧＡＢ， ∵∠ＭＡＮ＝４５°，∴∠ＤＡＮ＋∠ＢＡＭ＝４５°， ∴∠ＧＡＭ＝∠ＧＡＢ＋∠ＢＡＭ＝４５°， 第６题解图 ∴∠ＧＡＭ＝∠ＮＡＭ， ∵ＡＭ＝ＡＭ， ∴△ＡＧＭ≌△ＡＮＭ（ＳＡＳ）， ∴ＭＮ＝ＧＭ＝ＢＧ＋ＢＭ， 又∵ＢＧ＝ＤＮ， ∴ＢＭ＋ＤＮ＝ＭＮ． 专题四　几何等面积法解题模型 １．Ｄ　【解析】解法１：在正方形 ＡＢＣＤ中，ＯＡ⊥ＯＢ，∠ＯＡ