专题3 必须掌握的五种构造全等三角形的方法-【一战成名新中考】2024河北中考数学·培优册

培优册·河北数学 模 型 方 法 篇 专 题 三 　 必 须 掌 握 的 五 种 构 造 全 等 三 角 形 的 方 法 专题三　必须掌握的五种构造全等三角形的方法 　　　　　　　　　　　　　　　　方法１ 倍长中线法（构造“８”字全等） 【构造方法见专题一 中点模型类型７】 １．（人教八上 Ｐ５图 １１．１－４改编）如图，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝４，ＡＣ＝２，点 Ｄ是 ＢＣ的中 点，连接ＡＤ，求ＡＤ长度的取值范围． 第１题图 解：如解图，延长 ＡＤ到点 Ｅ，使得 ＤＥ＝ＡＤ，连 接ＢＥ． ∵点Ｄ是ＢＣ的中点，∴ＢＤ＝ＣＤ， ∵∠ＢＤＥ＝∠ＣＤＡ，ＤＥ＝ＡＤ， ∴△ＡＣＤ≌△ＥＢＤ（ＳＡＳ），∴ＢＥ＝ＡＣ＝２， 在△ＡＢＥ中，ＡＢ－ＢＥ＜ＡＥ＜ＡＢ＋ＢＥ， ∴４－２＜２ＡＤ＜４＋２，即１＜ＡＤ＜３． 方法２　平行线法（构造“８”字全等） 【构造方法见专题一 中点模型类型６】 ２．多解法 獉獉獉 如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点 Ｅ在 ＡＢ上，点Ｆ在ＡＣ的延长线上，ＢＥ＝ＣＦ，连 接ＥＦ交ＢＣ于点Ｄ．求证：ＤＥ＝ＤＦ． 第２题图 证明：解法１：如解图，过点 Ｅ作 ＥＧ∥ＡＣ交 ＢＤ 于点Ｇ．∵ＡＢ＝ＡＣ，∴∠Ｂ＝∠ＡＣＢ， ∵ＥＧ∥ＡＣ，∴∠ＥＧＢ＝∠ＡＣＢ＝∠ＥＢＧ， ∴ＢＥ＝ＥＧ＝ＣＦ．∵ＥＧ∥ＣＦ， ∴∠ＤＥＧ＝∠ＤＦＣ，∠ＤＧＥ＝∠ＤＣＦ， ∴△ＤＥＧ≌△ＤＦＣ（ＡＳＡ），∴ＤＥ＝ＤＦ． 解法２思路提示：过点Ｅ作ＢＣ的平行线． 方法３　垂直法（含一线三垂直） 图示   条件 ∠ＡＯＥ ＋ ∠ＤＣＥ ＝ １８０°，ＯＣ 平 分∠ＡＯＢ 辅助线 作法 过点Ｃ分别作ＣＦ⊥ＡＯ，ＣＧ⊥ＯＢ 结论 △ＣＦＤ≌　△ＣＧＥ　 第３题图 ３．如图，△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ ＢＣ，∠ＡＣＢ＝９０°，Ａ（０， ３），Ｃ（１，０），则点Ｂ的 坐标为　（４，１）　． ４．如图，点 Ｅ是菱形 ＡＢ ＣＤ的边ＡＢ上一点，点 Ｆ是边ＢＣ延长线上一点，且∠ＥＤＦ＝∠Ａ， 求证：ＤＥ＝ＤＦ． 第４题图 证明：如解图，过点Ｄ作 ＤＭ⊥ＢＣ于点 Ｍ，ＤＮ⊥ ＡＢ于点Ｎ，连接ＢＤ，∵四边形ＡＢＣＤ是菱形， ∴ＢＤ平分∠ＡＢＣ，∠Ａ＋∠ＡＢＣ＝１８０°． ∴ＤＮ＝ＤＭ． 在四边形ＤＮＢＭ中，∵∠ＤＮＢ＋∠ＤＭＢ＝１８０°， ∴∠ＮＢＭ＋∠ＮＤＭ＝１８０°， ∴∠ＮＤＭ＝∠Ａ＝∠ＥＤＦ， ∴∠ＮＤＥ＋∠ＥＤＭ＝∠ＥＤＭ＋∠ＭＤＦ， 即∠ＮＤＥ＝∠ＭＤＦ，又∵∠ＤＮＥ＝∠ＤＭＦ＝９０°， ∴△ＮＤＥ≌△ＭＤＦ（ＡＳＡ），∴ＤＥ＝                                                                     ＤＦ． ６ 培优册·河北数学 模 型 方 法 篇 专 题 三 　 必 须 掌 握 的 五 种 构 造 全 等 三 角 形 的 方 法 方法４　截长补短法 图示 ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∠Ｂ＝２∠Ｃ 辅助线 作法 截长：截 ＡＥ＝ＡＢ 补短：延长 ＡＢ至点Ｆ， 使ＡＦ＝ＡＣ，连接ＤＦ 结论 △ＡＢＤ≌ 　△ＡＥＤ　 △ＡＣＤ≌ 　△ＡＦＤ　 线段ＡＢ，ＡＣ，ＢＤ的数量关系是　 ＡＢ＋ ＢＤ＝ＡＣ　 解读 １．“截长补短法”是证明线段或角的 “和差倍分”问题的常用方法； ２．把几条线段间的数量关系转化为两 条线段的等量关系 ５．如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°， 点Ｅ为ＡＢ边上一点，且ＤＥ平分∠ＡＤＣ，ＣＥ 平分∠ＢＣＤ．求证：ＣＤ＝ＡＤ＋ＢＣ． 第５题图 证明：如解图，在ＤＣ上截取ＤＦ＝ＤＡ，连接ＥＦ． ∵ＤＥ平分∠ＡＤＣ，ＣＥ平分∠ＢＣＤ， ∴∠１＝∠２，∠３＝∠４， 在△ＡＤＥ和△ＦＤＥ中 ∴△ＣＦＥ≌△ＣＢＥ（ＡＡＳ）， ∴ＣＦ＝ＣＢ， ∴ＣＤ＝ＤＦ＋ＦＣ＝ＡＤ＋ＢＣ． 方法５　旋转法（半角模型常用旋转法） 类型 锐角旋转 直角旋转 钝角旋转 图示    条件 共顶点，ＡＢ＝ＡＣ 辅助线 作法 将 ＡＤ绕点 Ａ旋转 α＝∠ＢＡＣ得到 ＡＥ，连接ＤＥ，ＣＥ 结论 △ＡＢＤ≌　△ＡＣＥ　；△ＡＤＥ是　等 腰　三角形；∠ＢＡＣ＝　∠ＤＡＥ　； △ＡＢＣ∽△ＡＤＥ ６．如图，四边形 ＡＢＣＤ是正方形，一个等腰直 角三角板的一个锐角顶点与 Ａ点重合，将 此三角板绕 Ａ点旋转时，两边分别交线段 ＢＣ，ＣＤ于 Ｍ，Ｎ，求 ＢＭ，ＭＮ，ＤＮ的长度满 足的数量关系． 第６题图 解：如解图，将△ＡＤＮ绕点 Ａ顺时针旋转９０°得 到△ＡＢＧ，则 ＡＮ＝ＡＧ，ＤＮ＝ＢＧ，∠ＤＡＮ＝ ∠ＧＡＢ，∵∠ＭＡＮ＝４５°，∴∠ＤＡＮ＋∠ＢＡＭ ＝４５°， ∴∠ＧＡＭ＝∠ＧＡＢ＋∠ＢＡＭ＝