专题1 中点模型&专题2 角平分线模型-【一战成名新中考】2024河北中考数学·培优册

书 培优册·河北数学 　　一、河北中考培优———模型方法篇 模 型 方 法 篇 专 题 一 　 中 点 模 型 专题一　中点模型 　　　　　　　　　　　　　　　　类型１ 遇一边中点，想三角形中位线 图示 条件 点Ｄ是ＢＣ中点 辅助线 作法 取ＡＢ的中点Ｅ（取ＡＣ的中点Ｆ） 结论 ＤＥ∥ ＡＣ；ＤＥ＝ １２ＡＣ；△ＢＤＥ∽ 　△ＢＣＡ　； ＤＦ　 ∥ 　 ＡＢ；ＤＦ＝　 　 　 　； △ＣＤＦ∽　△ＣＢＡ　 １．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝９０°，ＡＢ＝２，点Ｄ 是ＡＣ的中点，点Ｅ在边ＢＣ上，且∠ＤＥＣ＝ ４５°，则ＤＥ的长为　槡２　． 第１题图 【思路提示】有９０°角，４５°角，有中点，  作平  行线即可构造等腰直角三角形． ２．（２０２３石家庄一模改编）如图，在矩形ＡＢＣＤ 中，ＡＢ＝２，ＡＤ＝６，点 Ｐ在 ＢＣ上，且 ＣＰ＝ １ ３ＢＣ，点Ｅ，Ｆ分别是ＡＰ，ＡＤ的中点． 第２题图 （１）ＰＢ的长是　４　； （２）ＥＦ＝　槡２　． 类型２　遇直角三角形斜边中点，想斜边 中线 图示 条件 △ＡＢＣ是直角三角形，点 Ｄ是 ＡＢ 中点 辅助线 作法 连接ＣＤ 结论 ＣＤ＝１２ＡＢ，即 ＣＤ＝ＤＢ＝ＡＤ，∠Ｂ＝ ∠ＤＣＢ，∠Ａ＝∠ＡＣＤ ３．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，Ｍ，Ｎ分别 是ＡＢ，ＡＣ的中点，延长ＢＣ至点Ｄ，使ＣＤ＝ １ ３ＢＤ，连接 ＤＭ，ＤＮ，ＭＮ．若 ＡＢ＝６，则 ＤＮ 的长为　３　． 【思路提示】由题意得 ＭＮ∥ＢＣ，ＭＮ＝ １ ２ＢＣ，结合ＣＤ＝ １ ３ＢＤ，得到 ＭＮ＝ＣＤ，那么 连接ＣＭ可将求 ＤＮ的长转化为求 ＣＭ的 长，而ＣＭ恰是Ｒｔ△ＡＢＣ斜边ＡＢ上的中线． 第３题图 　　 第４题图 ４．（２０２２沧州九上期末）如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中， ∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝３，以点Ｃ为圆心、ＣＡ长为 半径的圆与ＡＢ交于点Ｄ，若点Ｄ恰好为线段 ＡＢ的中点，则ＡＢ的长度为 （　Ｃ　） Ａ．３２                                                               Ｂ．３ Ｃ．６ Ｄ．９ １ 培优册·河北数学 模 型 方 法 篇 专 题 一 　 中 点 模 型 类型３　遇等腰＋中点，想三线合一 图示 条件 ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ是ＢＣ中点 辅助线 作法 连接ＡＤ 结论 ＡＤ⊥ＢＣ，ＡＤ平分∠ＢＡＣ ５．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝５，ＢＣ＝６，点 Ｍ为ＢＣ的中点，ＭＮ⊥ＡＣ于点Ｎ，则ＭＮ的 长为　　　　． 第５题图 【思路提示】有等腰三角形及底边上的中 点，想到连接  ＡＭ． ６．（优质原创）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ， ∠ＢＡＣ＝１２０°，点 Ｄ是 ＢＣ的中点，点 Ｅ是 ＡＢ的四等分点，且靠近点 Ａ，若 Ｓ△ＢＤＥ＝ ３槡３ ８，求ＢＣ的长． 第６题图 解：如解图，连接ＡＤ， ∵ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝１２０°， ∴∠Ｂ＝∠Ｃ＝３０°， 又∵点Ｄ是ＢＣ的中点，∴ＡＤ⊥ＢＣ， ∴ＡＤ＝槡３３ＢＤ，∴Ｓ△ＡＢＤ＝ １ ２ＢＤ·ＡＤ＝ 槡３ ６ＢＤ ２， ∵点Ｅ是 ＡＢ的四等分点，且靠近点 Ａ，Ｓ△ＢＤＥ＝ ３槡３ ８，∴Ｓ△ＡＢＤ＝ ４ ３Ｓ△ＢＤＥ＝ 槡３ ２， ∴ＢＤ＝槡３（负值已舍去），∴ＢＣ＝２ＢＤ＝２槡３． 类型４　遇过中点的垂线，想垂直平分线 图示 条件 点Ｄ是ＢＣ中点，ＤＥ⊥ＢＣ 辅助线 作法 连接ＢＥ 结论 ＢＥ＝ＣＥ；ＤＥ平分∠ＢＥＣ；∠ＥＢＣ＝ ∠ＥＣＢ． ７．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，∠ＢＣＡ＝ ７５°，ＡＣ＝８，点 Ｄ是 ＢＣ中点，过点 Ｄ作 ＥＤ⊥ ＢＣ，交 ＡＢ于 点 Ｅ，则 ＢＥ的 长 是　　　　． 第７题图 【思路提示】连接  ＥＣ，将求 ＢＥ的长转化到 含３０°  角的直角三角形中求ＣＥ的长． ８．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＢＣ＝３， ＡＣ＝４，ＡＢ的垂直平分线ＤＥ交ＢＣ的延长 线于点Ｅ，则ＣＥ的长为　　　　． 第８题图 ９．（优质原创）如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ中， ∠Ｂ＝４５°，点 Ｅ是边 ＢＣ的中点，过点 Ｅ作 ＥＦ⊥ＢＣ交ＡＢ于点Ｆ．若ＡＦ＝１，ＥＦ＝槡２，则 对角线ＡＣ＝　槡５　． 第９题图                                                                          ２ 培优册·河北数学 模 型 方