问题5 轨迹问题中的“主从联动”(瓜豆原理)-【一战成名新中考】2024贵州中考数学·培优册

培优册!贵州数学 模 ! 块 ! 二 ! 问 题 方 法 篇 问题 '!轨迹问题中的!主从联动"#瓜豆原理$ "4年 %考# 类 型 !!直线轨迹"%&"3!"'# 模型解读 问题!#"$如图 ""点&是直线8外一定点"点)是直线8上一动点"连接&)"取&)的中点,"当 点)在直线8上运动时"点,的轨迹是什么图形+ 图 " !!!!!! 图 % #%$如图 %"点&是直线8外一定点"点)是直线8上一动点"连接&)"以&)为腰作等腰三 角形&)-"且 % )&- ( ! "当点)在直线8上运动时"点-的轨迹是什么图形+ 思路!#"$定点到定直线的距离相等(#%$定角等比构造全等! 作法!#"$如图 $"过点&",分别作直线 8的垂线 &$",#"则 ,# ! &$"且 ,#( " % &$"?&$是定 值"=,#是定值"即点,到直线8的距离始终相等"=点,的轨迹是平行于直线8的一条 直线! 图 $ !!!!!! 图 2 #%$如图 2"当点 )运动到点 )0时"以 &)0为腰作等腰三角形 &)0-0"且 % )0&-0 ( ! " = % )&)0 ( % -&-0"?&) ( &-"&)0 ( &-0"= # &))0 $# &--0# D,D$"= % &))0 ( % &--0 ( " % #"#&+ 7 ! $"= % )--0 ( % &-) . % &--0 ( "#&+ 7 ! "=直线--0与直线8的夹 角为 ! "即点-的轨迹为直线--0! 总结!定点&为直线#线段$外一点"主动点 )为直线上一点"从动点 ,为任意一点"若 % )&, 为定角" &, &) 为定值"则从动点,的轨迹为一条直线#线段$!如问题#"$中定角为 &"定值为 " % (问题#%$中定角为 ! "定值为 "! 典例精析 例 !!$%&"3贵阳 "'题 2分%如图"在矩形&#$"中"&#(2 " % "$& ( $&+"点'是对角线&$上 的一个动点"连接"'"以"'为斜边作 % "'% ( $&+的直角三角形"%'"使点%和点&位 于"'两侧"点'从点&到点$的运动过程中"点%的运动路径长是!!!!! *$ 培优册!贵州数学 模 ! 块 ! 二 ! 问 题 方 法 篇 "思路剖析#点'从点&到点$%运动轨迹为线段% % "'%是定值%且 "' "% 是定值%=点%的 轨迹也是一条线段%起点为点'与点&重合时点%的位置%终点为点'与点$重合时点% 的位置%再通过解直角三角形求得轨迹长! "答案# "自主解答# 解图 " 解图 % 针对训练 !!如图"正方形 &#$"的边长为 2"%为 #$上一点"且 #%(""'为 &#边上的一个动点"连接 %'"以%'为边向右侧作等边三角形%'("连接$("则 $(的最小值为!!!!! 第 "题图 "!如图"在矩形&#$"中"&#($"&"(2"点%在边&"上"&%6%"("6$"动点)从点&出发"沿 &#方向运动到点#停止"过点%作 %'垂直 )%交射线 #$于点 '"如果 -是线段 %'的中 点"那么)在运动的过程中"点-运动的路径长为!!!!! 第 %题图 !$ 培优册!贵州数学 模 ! 块 ! 二 ! 问 题 方 法 篇 类 型 "!圆轨迹"%&"#!%$# 模型解读 问题!#"$如图 ""点&是 * *外一定点"点)是半径为<的 * *上一动点"连接&)"取&)的中 点,"当点)在 * *上运动时"点,的运动轨迹是什么图形+ 图 " !!!!!! 图 % #%$如图 %"点&是 * *外一定点"点)是半径为<的 * *上一动点"连接&)"点,是平面 内一点"且 % )&, ( ! " &, &) ( 1"当点)在 * *上运动时"点,的运动轨迹是什么图形+ 思路!#"$定点到定圆上动点的距离比相等(#%$定角等比构造相似! 作法!#"$如图 $"连接*&"取*&的中点-"连接,-"则,- ! )*"且,-( " % )* ( " % <"?点&"点 *是定点"=点-是定点"即为圆心(? ,- )* ( &- &* ( " % "=,-为定长"即为半径"=点,的 运动轨迹是以-为圆心" " % <为半径的圆! 图 $ !!!!!!! 图 2 #%$如图 2"连接 *&"*)"以 *为顶点"作 % *&- ( ! "且 &- &* ( 1"? % )&, ( % *&-" = % -&, ( % *&)"? &- &* ( &, &) ( 1"= # &,- &# &)*"= -, *) ( 1"为定值"=-,(1<"=点, 的运动轨迹为以-为圆心"1<为半径的圆!当 ! ( &"1 ( " % 时即为问题#"$的情况! 总结!"!定点&为 * *外一点"主动点)为 * *上一点"从动点,为任