01 显性圆中的最值问题-【一战成名新中考】2024贵州中考数学·培优册

培优册!贵州数学 模 ! 块 ! 二 ! 问 题 方 法 篇 问题 2!圆中最值与辅助圆 !一"显性圆中的最值问题 类 型 !!点圆最值 模型解读 已知! * *的半径为<"&是平面内一定点")是圆上一动点"确定)&的最值! 点&位置 在圆内 在圆外 图示 解决方案 (一箭穿心)定交点)%(近点)有最小值%(远点)有最大值& 原理!直径是圆内最长的弦 ,,,,,,,,,,, 最大值 <.*&"即&) % # < . *&"即&) % # 最小值 <7*&"即&) " # *& 7 <"即&) " # 典例精析 例 !!如图" * -的半径为 2"圆心-的坐标为#4"#$"点)是 * -上的任意一 点")& " )#"且)&")#与7轴分别交于&"#两点"若点&"点#关于原点* 对称"则&#的最大值为!!!!! "思路剖析#有直角和斜边中点构造斜边中线%斜边中线的最大值即为 斜边的最大值!连接*-并延长交 * -于点)0%则当点)与点)0重合时*)的值最大%即 &#的值最大! "答案# "自主解答# 解图 针对训练 !!"多解法#如图"正方形 &#$"的边长为 2" * *的半径为 "!若 * *在正方形 &#$"内平移 # * *可以与该正方形的边相切$"则点&到 * *上的点的距离的最大值为!!!!! 第 "题图 ## 培优册!贵州数学 模 ! 块 ! 二 ! 问 题 方 法 篇 "!如图"抛物线=( " 2 7 % 7 2与7轴负半轴交于点&")是以点$#&"$$为圆心"%为半径的圆上的 第 %题图 动点",是线段)&的中点"连接*,"则线段*,的最小值是!!!!! 类 型 "!线圆最值 模型解读 已知! * *的半径为<"圆心*到定直线&#的距离为 >"点)是圆上一动点"确定)到直线&# 的最值! 直线&#与 * *的位置 相离 相切 相交 图示 解决方案 过点*作&#的垂线%交 * *于点)%交直线&#于点$ 最大值 >.< %< >.< <7> 最小值 >7< & & 典例精析 例 "!如图"已知直线=( $ 2 7 7 $与7轴"=轴分别交于&"#两点")是以$#&""$为 圆心" " 为半径的圆上一动点"连接 )&" )#"则 # )&#面积的最小 值是!!!!! "思路剖析#底边&#是定值%故底边上的高 ? 最小时%三角形的面积最小! 过点$作&#的垂线$-%则 ?的最小值即为$-7<!$-的值可由等面积法求得! "答案# "自主解答# 解图 针对训练 #!已知 * *的半径为 $"直线8与 * *相切于点&"点)是 * *上一动点"则点)到直线8的距离 不可能是 #!!$ ,1& -1$ /14 015 $# 培优册!贵州数学 模 ! 块 ! 二 ! 问 题 方 法 篇 $!如图"&#是 * *的弦"$是优弧&# ) 上一点"连接&$"#$"若 * *的半径为 2" % &$# ( 4&+"则 第 2题图 # &#$面积的最大值为!!!!! 类 型 #!过圆内一点#非圆心$的弦的最值问题 模型解读 已知!半径为<的 * *内一定点&"-.为过点&的弦"确定-.的最值! 最值 最大值$%< 最小值$% <%7*&槡 % 图示 原理 直径是圆内最长的弦 垂径定理和勾股定理 典例精析 例 #!如图"在平面直角坐标系中"&#4"&$"##&"#$"点$在7轴正半轴上"点" 在=轴正半轴上"且$"(4"以$"为直径在第一象限作半圆"交线段&# 于点%"'"则线段%'的最大值为!!!!! "思路剖析#直径$"是定值%要使弦最大%则弦心距最小!取$"的中点( 即为圆心%过点(作%'的垂线构造弦心距(-%由题知点(的轨迹是一条以点*为圆心% $为半径的弧%故由(垂线段最短)可知直线(-经过点*时%(-的值最小! "答案# "自主解答# 解图 针对训练 %!如图" * *的半径为 "&"若*)(#"则经过点)的弦长可能是 #!!$ ,1"& -1"" /1"3 0!%% 第 '题图 !!!!!!!!! 第 4题图 &!如图"&#是 * *的弦"点$是优弧&# ) 上一动点"连接&$"#$"点-".分别是&#"#$的中点" 若&#(#" % &$# ( 2'+"则-.的最大值是!!!!! %# $5-4=3. sinABD-AD PE3 #4P.PC 3PB=PC+PE=CH..C.P.E三点共线时,PCPB 问题4E 圆中最值与辅助圆 (一)显性圆中的最值问题 -1.. PC3PB的最 例1:【答案】28 【自主解答】如解图,连接P0PAPB。APB=90* '点A.点B关于原点0对称..A0=B0.:AB=2P0,若 # 要使AB取得最大值,则P0需取得最大值,连接0M并 延长交M于点P,当点P位于P位置时,0P取得