模型3 一线三等角(含弦图)-【一战成名新中考】2024贵州中考数学·培优册

培优册!贵州数学 模 ! 块 ! 一 ! 基 本 模 型 篇 针对训练 #!如图"在)* # &#$中" % &$# ( 3&+""为 # &#$外一点"且 % "&$ ( % #&$"连接 #""%为 #" 的中点"若 % &#$ ( '&+"则 % &$% ( !!!!+! 第 $题图 !!!!!! 第 2题图 $!"多解法#如图"在 # &#$中" % &#$ ( 3&+"&# ( $"#$ ( 2" % #&$" % &$#的平分线相交于点%" 过点%作%' ! &$交#$于点'"则%'(!!!!! 模型 $!一线三等角#含弦图$ 模型解读 情形 图示 结论 等角在 线同侧 ! # &$+ &# #+" "外弦图# # &+% $# #%' $# $'( $# "(+ 等角在 线异侧 ! # &+$ &# #"+ "内弦图# # &#% $# #$' $# $"( $# "&+ 典例精析 例!在平行四边形&#$"中"点%在边&#上"点'在边#$上"且 % %'" ( % #! #"$如图 ""若 % # ( 3&+"&# ( %"#$ ( 2"#'6'$ ( "6$"则&%(!!!!! "思路剖析#当 % # ( 3&+时%则存在一线三直角%利用相似列比例式求解! "答案# 图 " "自主解答# & 培优册!贵州数学 模 ! 块 ! 一 ! 基 本 模 型 篇 图 % #%$如图 %"连接"%"若"% " %'" % # ( 4&+"&# ( $"#$ ( 2"则&%(!!!!! "思路剖析#延长 #$至点 (%连接 "(%使得 % ( ( % # ( 4&+%则 % # ( % %'" ( % (%从而构造相似三角形 # #%' &# ('"%等边三角形$"(%根 据等量关系列比例式求解! "答案# "自主解答# 解图 针对训练 !!如图"沿直线"%折叠等边三角形纸片&#$"使&点落在#$边上任意一点'处#不与#%$重 合$!已知 # &#$的边长为 3""为&#上一点"#"('"#'(%"则$%(!!!!! 第 "题图 "!如图"在)* # &#$中" % &$# ( 3&+"&$ ( #$"过点#作#% " $%于点%"过点&作&" " $%于 点""连接#"!若&"(5"$"($"则#"(!!!!! 第 %题图 #!如图"在 # &#$中" % #&$ ( 2' +""为 # &#$外一点"满足 % $#" ( 3&+"#$ ( #"!若 / # &$" ( 2!'"则 &$的长为!!!!! 第 $题图 $!如图"点%为正方形&#$"内一点" % &%# ( 3&+"将)* # &#%绕点#按顺时针方向旋转 3&+" 得到 # $#%0#点&的对应点为点 $$!延长 &%交 $%0于点 '"连接 "%!若 &#("'"$'($"则 "%的长为!!!!! 第 2题图 ' 4x,.AM+CM=3-x+4-x=5,解得x=1,EN=BN=L.又4.37【解析】：将R△ABE绕点B按顺时针方向旋转 EF∥AC,∠EFN=∠ACB,又∠ENF=∠ABC=90°，. 9O°，得到△CBE,.∠AEB=∠CEB=90°，BE=BE',∠EBE EF ENEF 1 5 △EFN△ACB一ACAB即写3，解得EF= =90°，又·∠BEF=90°，，四边形BEFE是矩形，又·BE= BE,.四边形BEFE是正方形，.BE=EF=BE,AB=BC 模型3 一线三等角（含弦图】 =15,CF=3.BC2=EB2+EC,.225=EB+(EB+3)2,.E 例：(1)I答案1 B=9=BE(负值已舍去)，∴.CE=CF+EF=12.如解图，过点 D作DH⊥AE于点H,由题可知△ADM≌△BAE,.BE=AH= 【自主解答】：BC=4,BF:FC=1:3BF=1,CF=3.在平 9.DH=AE CE'=12...HE =3..DE =DH+HE* 行四边形ABCD中，，：∠B=90°，.∠C=∠EFD=90 12+3=37. ∠BEF+∠BFE=90°，又.：∠BFE+∠CFD=90°，∴.∠BEF= BE BF BF 模型4半角型 ∠CFD,.△BEF△GFD,·CFCD-B,6E、.I 3 2解 得E3 AE-AB-E-7 %【答案)92 【自主解答】如解图，将△CDF绕点C逆时针旋转90°得到 (2I答案1 △CBG,则DF=BG,CF=CG,∠CBG=90°，∠DCF=∠BCG, ,∴.E,B.G三点共线.∠DCF+∠BCE=45,∴∠BCG+ 【自主解答】如解图，延长BC至点G,连接DG,使得∠G= ∠BCE=45°，∴，∠ECF=∠ECG,又，CE=CE,.△ECF ∠B=60°，则∠B=∠EFD=∠G=60°，，∠B