题型9 几何综合探究题-【一战成名新中考】2024广西中考数学·培优册

培优册·广西数学 重 难 题 型 篇 题型九　几何综合探究题 （广西２０２３．２６，北部湾６年２考） 类型一　与动点有关的几何探究题 １．（２０２３崇左三模）如图，在矩形 ＡＢＣＤ中， ＡＢ＝６，ＢＣ＝８，Ｅ为ＡＢ上一点，且ＡＥ＝２，Ｍ 为ＡＤ上一动点（不与 Ａ，Ｄ重合），连接 ＥＭ 并延长交ＣＤ的延长线于点 Ｆ，过 Ｍ作 ＭＧ ⊥ＥＦ交直线ＢＣ于点Ｇ，连接ＥＧ，ＦＧ． （１）如图①，若 Ｍ是 ＡＤ的中点，求证： ＥＧ＝ＦＧ； （２）如图②，当点Ｇ与点Ｃ重合，且ＡＭ＞ＤＭ 时，求 ＡＭ ＤＭ的值； （３）如图③，当ＡＭ＝３时，求△ＥＦＧ的面积． 第１题图 （１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴∠Ａ＝∠ＡＤＣ＝∠ＭＤＦ＝９０°， ∵Ｍ是ＡＤ的中点，∴ＡＭ＝ＤＭ， 在△ＡＥＭ和△ＤＦＭ中， ∠Ａ＝∠ＭＤＦ， ＡＭ＝ＤＭ， ∠ＡＭＥ＝∠ＤＭＦ { ， ∴△ＡＥＭ≌△ＤＦＭ（ＡＳＡ），∴ＥＭ＝ＦＭ， 又∵ＭＧ⊥ＥＦ，∴ＥＧ＝ＦＧ； （２）解：当点Ｇ与点Ｃ重合时， ∵∠Ａ＝∠ＥＭＣ＝∠ＡＤＣ＝９０°， ∴∠ＡＭＥ＋∠ＣＭＤ＝∠ＣＭＤ＋∠ＤＣＭ＝９０°， 由勾股定理得 ＥＭ＝ ＡＭ２＋ＡＥ槡 ２＝槡１３， ∴ＧＭ＝２ＥＭ＝２槡１３， ∵ＡＢ∥ＣＤ， ∴△ＤＭＦ∽△ＡＭＥ， ∴ＤＭＡＭ＝ ＭＦ ＭＥ，即 ８－３ ３ ＝ ＭＦ 槡１３ ，解得ＭＦ＝５槡１３３ ， ∴ＥＦ＝ＥＭ＋ＭＦ＝８槡１３３ ，∴Ｓ△ＥＦＧ＝ １ ２ＥＦ·ＧＭ ＝１２× ８槡１３ ３ ×２槡１３＝ １０４ ３． ２．（优质原创）如图，在菱形 ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝ ６０°，点 Ｅ，Ｆ分别为边 ＡＢ，ＣＢ上的动点，且 满足∠ＥＤＦ＝６０°． （１）求证：ＤＥ＝ＤＦ； （２）如图②，过点 Ｂ作 ＢＧ∥ＤＦ交 ＡＤ于点 Ｇ，交ＤＥ于点Ｈ，连接ＣＨ． ①求证：ＣＨ＝ＤＨ＋ＨＢ； ②若ＡＤ＝２，在点 Ｅ从 Ａ点运动到 Ｂ点 的过程中，求ＣＨ的最大值． 　 第２题图 （１）证明略； （２）①证明略； ②解：∵Ｄ，Ｈ，Ｂ，Ｃ四点共圆， Ｅ点从Ａ点运动到 Ｂ点的过程中，当 ＣＨ为⊙Ｏ 的直径时，ＣＨ取得最大值， ∵ＣＨ为⊙Ｏ的直径，∴∠ＨＢＣ＝∠ＨＤＣ＝９０°， 在Ｒｔ△ＨＢＣ和Ｒｔ△ＨＤＣ中，ＢＣ＝ＣＤ，ＣＨ＝ＣＨ， ∴Ｒｔ△ＨＢＣ≌Ｒｔ△ＨＤＣ， ∴∠ＢＣＨ＝∠ＤＣＨ＝３０°， ∴ＣＨ最大 ＝ ＢＣ ｃｏｓ３０°＝ ２ 槡３ ２ ＝４槡３３． 【详解见本册ＰＸ                                                                    】 ５７ 培优册·广西数学 重 难 题 型 篇 类型二　与折叠有关的几何探究题 ３．（２０２３南宁武鸣区二模）【教材呈现】下列材 料是人教版八年级下册数学教材第６５页数 学活动的部分内容． 【问题解决】如图①，在矩形 ＡＢＣＤ中，Ｅ为 ＢＣ上一点，将 △ＡＢＥ沿 ＡＥ折叠得到 △ＡＢ′Ｅ，点Ｂ′恰好在ＡＤ上． （１）求证：四边形ＡＢＥＢ′是正方形； （２）【教材延伸】如图②，将图①中的矩形纸 片沿过点Ｄ的直线折叠，使得点Ｃ恰好 落在 ＥＢ′上的点 Ｃ′处，ＤＭ为折痕．若 ＡＢ＝５，ＡＤ＝８，求ＥＭ的长； （３）在图②中，延长 ＭＣ′交直线 ＡＥ于点 Ｎ， 当点Ｎ与点 Ａ重合时，若 ＡＢ＝ａ，ＡＤ＝ ｂ，其他条件不变，求ＡＢＡＤ的值． 　 第３题图 （１）证明：由折叠的性质可得 ＡＢ＝ＡＢ′，ＢＥ＝ Ｂ′Ｅ，∠ＢＡＥ＝∠Ｂ′ＡＥ， 又∵∠ＢＡＤ＝９０°， ∴∠ＢＡＥ＝∠Ｂ′ＡＥ＝１２∠ＢＡＤ＝４５°， ∴∠ＡＥＢ＝４５°＝∠ＢＡＥ， ∴ＡＢ＝ＢＥ， ∴ＡＢ＝ＢＥ＝ＡＢ′＝Ｂ′Ｅ， ∴四边形ＡＢＥＢ′是菱形， 又∵∠ＢＡＤ＝９０°， ∴四边形ＡＢＥＢ′是正方形； （２）ＥＭ的长为４３； （３）ＡＢＡＤ的值为 槡５－１ ２ ． 【详解见本册ＰＸ】 ４．（２０２３大连）综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们 每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的 性质．已知ＡＢ＝ＡＣ，∠Ａ＞９０°，点Ｅ为ＡＣ上 一动点，将△ＡＢＥ以ＢＥ为对称轴翻折．同学 们经过思考后进行如下探究： 独立思考：小明：“当点 Ｄ落在 ＢＣ上时， ∠ＥＤＣ＝２∠ＡＣＢ．” 小红：“若点Ｅ为ＡＣ中点，给出ＡＣ与ＤＣ的 长，就可求出ＢＥ的长．” 实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提 出问题１，请你回答： 问题 １：在等腰△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ａ＞ ９０°，△ＢＤＥ由△ＡＢＥ翻折得到． （１）如图①，当点 Ｄ落在 ＢＣ上时，求证： ∠ＥＤＣ＝２∠ＡＣＢ； （２）如图②，若点 Ｅ为 ＡＣ中点，ＡＣ＝４