题型8 二次函数综合题-【一战成名新中考】2024广西中考数学·培优册

培优册·广西数学 重 难 题 型 篇 题型八　二次函数综合题 （北部湾６年２考） 类型一　二次函数实际应用 １．某初中全校师生为学校修建植物园群策群 力．九年级设计小组为更合理地利用空间， 将计划种植各种树木的矩形空地一边靠墙 （可利用的墙长不超过１８米），另外三边由 ３６米长的栅栏围成．设矩形空地 ＡＢＣＤ中， 垂直于墙的边 ＡＢ＝ｘ米，面积为 ｙ平方米， 如图所示． （１）求ｙ与 ｘ之间的函数关系式，并写出自 变量ｘ的取值范围； （２）若矩形空地的面积为１６０平方米，求ｘ； （３）若学校用８６００元购买了甲、乙、丙三种 树木共４００棵（每种树木的单价和每棵 栽种的合理用地面积如表）．问丙种树 木最多可以购买多少棵？此时，这批树 木可以全部栽种到这块空地上吗？请说 明理由． 甲 乙 丙 单价（元／棵） １４ １６ ２８ 合理用地（平方米／棵） ０．４ １ ０．４ 第１题图 解：（１）ｙ＝ｘ（３６－２ｘ）＝ －２ｘ２＋３６ｘ（９≤ｘ＜１８）； （２）由题意得 －２ｘ２＋３６ｘ ＝１６０，解得ｘ＝１０或８． ∵ｘ＝８时，３６－１６＝２０＞１８，不符合题意， ∴ｘ的值为１０； （３）∵ｙ＝－２ｘ２＋３６ｘ＝－２（ｘ－９）２＋１６２， ∴ｘ＝９时，ｙ有最大值１６２， 设购买了乙种树木ａ棵，购买了丙种树木ｂ棵， 由题意得１４（４００－ａ－ｂ）＋１６ａ＋２８ｂ＝８６００， ∴ａ＋７ｂ＝１５００， 需要种植的面积＝０．４×（４００－２１４－２）＋１×２＋ ０．４×２１４＝１６１．２＜１６２， ∴丙种树木最多可以购买２１４棵，此时这批树木 可以全部栽种到这块空地上． ２．（２０２３河南）小林同学不仅是一名羽毛球运 动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比 赛进行技术分析，下面是他对击球线路的 分析． 如图，在平面直角坐标系中，点 Ａ，Ｃ在 ｘ轴 上，球网ＡＢ与ｙ轴的水平距离 ＯＡ＝３ｍ，ＣＡ ＝２ｍ，击球点 Ｐ在 ｙ轴上．若选择扣球，羽 毛球的飞行高度ｙ（ｍ）与水平距离ｘ（ｍ）近 似满足一次函数关系ｙ＝－０．４ｘ＋２．８；若选 择吊球，羽毛球的飞行高度 ｙ（ｍ）与水平距 离ｘ（ｍ）近似满足二次函数关系 ｙ＝ａ（ｘ－ １）２＋３．２． （１）求点Ｐ的坐标和ａ的值； （２）小林分析发现，上面两种击球方式均能 使球过网．要使球的落地点到 Ｃ点的距 离更近，请通过计算判断应选择哪种击 球方式． 第２题图 解：（１）在 ｙ＝－０． ４ｘ＋２．８中，令ｘ＝０ 得ｙ＝２．８， ∴点 Ｐ的坐标为 （０，２．８）； 把Ｐ（０，２．８）代入ｙ＝ａ（ｘ－１）２＋３．２得， ａ＋３．２＝２．８， 解得ａ＝－０．４， ∴ａ的值是－０．４； （２）∵ＯＡ＝３ｍ，ＣＡ＝２ｍ， ∴ＯＣ＝５ｍ， ∴Ｃ（５，０）， 在ｙ＝－０．４ｘ＋２．８中，令ｙ＝０得ｘ＝７， 在ｙ＝－０．４（ｘ－１）２＋３．２中，令ｙ＝０得ｘ＝－２槡２＋ １（舍去）或ｘ＝２槡２＋１≈３．８２， ∵｜７－５｜＞｜３．８２－５｜， ∴选择吊球方式，球的落地点到Ｃ点的距离更近                                                                   ． １７ 培优册·广西数学 重 难 题 型 篇 ３．（２０２３武汉）某课外科技活动小组研制了一 种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于 出发点的飞行水平距离ｘ（单位：ｍ）、飞行高 度ｙ（单位：ｍ）随飞行时间ｔ（单位：ｓ）变化的 数据如表． 飞行时间ｔ／ｓ ０ ２ ４ ６ ８ … 飞行水平距离ｘ／ｍ ０ １０ ２０ ３０ ４０… 飞行高度ｙ／ｍ ０ ２２ ４０ ５４ ６４… 探究发现　ｘ与ｔ，ｙ与ｔ之间的数量关系可 以用我们已学过的函数来描述．直接写出 ｘ 关于ｔ的函数解析式和ｙ关于ｔ的函数解析 式（不要求写出自变量的取值范围）． 问题解决　如图，活动小组在水平安全线上 Ａ处设置一个高度可以变化的发射平台试 飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下 列问题． （１）若发射平台相对于安全线的高度为０ｍ， 求飞机落到安全线时飞行的水平距离； （２）在安全线上设置回收区域ＭＮ，ＡＭ＝１２５ ｍ，ＭＮ＝５ｍ．若飞机落到 ＭＮ内（不包 括端点 Ｍ，Ｎ），求发射平台相对于安全 线的高度的变化范围． 第３题图 解：探究发现　ｘ＝ ５ｔ，ｙ＝－１２ｔ ２＋１２ｔ； 【解法提示】ｘ与 ｔ 是一次函数关系，ｙ 与ｔ是二次函数关系，设ｘ＝ｋｔ，ｙ＝ａｔ２＋ｂｔ，由题意 得１０＝２ｋ， ４ａ＋２ｂ＝２２， １６ａ＋４ｂ＝４０{ ，解得ｋ＝５，ａ＝－ １ ２， ｂ＝１２{ ， ∴ｘ ＝５ｔ，ｙ＝－１２ｔ ２