题型6 与几何动态有关的函数分析与计算-【一战成名新中考】2024广西中考数学·培优册

培优册·广西数学 重 难 题 型 篇 题型六　与几何动态有关的函数分析与计算 （广西２０２３．２４，北部湾６年１考） １．如图，四边形 ＡＢＣＤ是边长为１的正方形， 点Ｅ是射线ＡＢ上的动点（点Ｅ不与点Ａ、点 Ｂ重合），点 Ｆ在线段 ＤＡ的延长线上，且 ＡＦ＝ＡＥ，连接ＥＤ，将ＥＤ绕点Ｅ顺时针旋转 ９０°得到 ＥＧ，连接 ＥＦ、ＦＢ、ＢＧ．设 ＡＥ＝ｘ，四 边形ＥＦＢＧ的面积为 ｙ．求 ｙ关于 ｘ的函数 解析式． 第１题图 解：如解图①，当点Ｅ在线段ＡＢ 上时，作ＧＨ⊥ＡＢ于点Ｈ， ∵∠ＤＥＧ＝９０°， ∴∠ＤＥＡ＋∠ＧＥＨ＝９０°， ∵∠ＤＥＡ＋∠ＥＤＡ＝９０°， ∴∠ＥＤＡ＝∠ＧＥＨ， ∵ＥＧ＝ＥＤ，∠ＤＡＥ＝∠ＧＨＥ＝９０°， ∴△ＤＡＥ≌△ＥＨＧ（ＡＡＳ）， ∴ＧＨ＝ＡＥ＝ＡＦ＝ｘ， ∴ＢＥ＝１－ｘ， ∴ｙ＝ｘ（１－ｘ）＝－ｘ２＋ｘ； 如解图②，当点 Ｅ在线段 ＡＢ的延长线上时，作 ＧＨ⊥ＡＢ于点Ｈ， 同理可证：△ＤＡＥ≌△ＥＨＧ，ＧＨ＝ＡＥ＝ＡＦ＝ｘ， ∴ＢＥ＝ｘ－１， ∴ｙ＝ｘ（ｘ－１）＝ｘ２－ｘ． 综上所述，ｙ关于ｘ的函数解析式为 ｙ＝ －ｘ２＋ｘ（０＜ｘ＜１）， ｘ２－ｘ（ｘ＞１）{ ． ２．如图①，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝３６°，动点Ｐ从点 Ａ出发，沿折线Ａ→Ｂ→Ｃ匀速运动至点Ｃ停 止．设点Ｐ的路程为ｘ．ＡＰ的长度为ｙ，ｙ与ｘ 的函数图象如图②所示． （１）当ＡＰ恰好平分∠ＢＡＣ时，求ｘ的值； （２）在（１）的条件下，求证：ＢＰ２＝ＰＣ·ＢＣ． 　 第２题图 （１）解：如解图，连接ＡＰ， 由题图②可得ＡＢ＝ＢＣ＝４， ∵∠Ｂ＝３６°，ＡＢ＝ＢＣ， ∴∠ＢＡＣ＝∠Ｃ＝７２°， ∵ＡＰ平分∠ＢＡＣ， ∴∠ＢＡＰ＝∠ＰＡＣ＝∠Ｂ＝３６°， ∴ＡＰ＝ＢＰ，∠ＡＰＣ＝７２°＝∠Ｃ， ∴ＡＰ＝ＡＣ＝ＢＰ， ∵∠ＰＡＣ＝∠Ｂ，∠Ｃ＝∠Ｃ， ∴△ＡＰＣ∽△ＢＡＣ， ∴ＡＰＡＢ＝ ＰＣ ＡＣ， ∴ＡＰ２＝ＡＢ·ＰＣ＝４（４－ＡＰ）， ∴ＡＰ＝２槡５－２（负值已舍去）， ∴ＢＰ＝ＡＰ＝２槡５－２， ∴ｘ＝４＋２槡５－２＝２槡５＋２； （２）证明：由（１）知，ＡＰ２＝ＡＢ·ＰＣ， ∵ＡＰ＝ＢＰ，ＡＢ＝ＢＣ， ∴ＢＰ２＝ＢＣ·                                                                    ＰＣ． ０６ 培优册·广西数学 重 难 题 型 篇 ３．如图，在等腰直角△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°， ＡＣ＝ＢＣ＝４，Ｄ为ＡＢ中点，动点Ｐ从点Ａ出 发，沿着Ａ→Ｃ→Ｂ方向运动至点Ｂ处停止． 连接 ＤＰ、ＢＰ，设点 Ｐ运动的路程为 ｘ， △ＢＤＰ的面积为ｙ１． （１）求出ｙ１关于ｘ的函数解析式，并写出自 变量ｘ的取值范围； （２）写出（１）中函数的一条性质； （３）已知函数ｙ２＝－ １ ３ｘ＋３，当ｙ１≥ｙ２时，请 直接写出自变量ｘ的取值范围． 第３题图 解：（１）如解图，过点 Ｐ作 ＰＨ⊥ＡＢ于点Ｈ， 在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ ＝４，则ＡＢ＝４槡２， ∴ｓｉｎＡ＝槡２２，ＡＤ＝ＢＤ＝２槡２． 当点Ｐ在ＡＣ上运动时，ＡＰ＝ｘ， ｙ１＝ １ ２ＢＤ·ＰＨ＝ １ ２ＢＤ· ＡＰ·ｓｉｎＡ＝１２×２槡２× 槡２ ２ｘ＝ｘ； 当点Ｐ在ＢＣ上运动时，ＢＰ＝８－ｘ， 同理可得ｙ１＝ １ ２×２槡２× 槡２ ２（８－ｘ）＝８－ｘ， ∴ｙ１＝ ｘ（０≤ｘ≤４）， ８－ｘ（４＜ｘ≤８{ ）； （２）ｙ１有最大值为４；（答案不唯一） （３）ｘ的取值范围是９４≤ｘ≤ １５ ２． ４．（２０２３重庆 Ｂ卷）如图，△ＡＢＣ是边长为４ 的等边三角形，动点Ｅ，Ｆ均以每秒１个单位 长度的速度同时从点Ａ出发，Ｅ沿折线Ａ→Ｂ →Ｃ方向运动，Ｆ沿折线 Ａ→Ｃ→Ｂ方向运 动，当两点相遇时停止运动．设运动的时间 为ｔ秒，点Ｅ，Ｆ的距离为ｙ． （１）请直接写出ｙ关于ｔ的函数关系式并注 明自变量ｔ的取值范围； （２）在给定的平面直角坐标系中，画出这个 函数图象，并写出该函数的一条性质； （３）结合函数图象，直接写出点 Ｅ，Ｆ相距３ 个单位长度时ｔ的值． 第４题图 解：（１）ｙ＝ ｔ（０≤ｔ≤４）， －２ｔ＋１２（０＜ｔ≤６{ ），【解法提示】当点 Ｅ、Ｆ分别在 ＡＢ、ＡＣ上运动时，△ＡＥＦ为边长等 于ｔ的等边三角形， ∴点Ｅ，Ｆ的距离等于ｔ， ∴当０≤ｔ≤４时，ｙ关于ｔ的函数关系式为ｙ＝ｔ； 当点Ｅ、Ｆ都在ＢＣ上运动时，点 Ｅ，Ｆ的距离等于 ４－２（ｔ－４）， 根据函数图象可知这个函数的一条性质：当０≤ｔ≤４ 时，ｙ随ｔ的增大而增大；（答案不唯一，正确即可） （３）３或４．５．【解法提示