题型5 圆的综合题-【一战成名新中考】2024广西中考数学·培优册

培优册·广西数学 重 难 题 型 篇 题型五　圆的综合题 （必考） 类型一　与线段有关的计算 练习１　如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点 Ｃ在⊙Ｏ 上，连接ＢＣ，Ｄ是 ) ＡＣ的中点，ＡＣ，ＯＤ相交于 点Ｅ．过点 Ｃ作⊙Ｏ的切线与 ＯＤ的延长线 相交于点 Ｆ．若 ＣＦ＝１２，ＯＦ＝１３，求 ＢＣ 的长． 练习１题图 解：如解图，连接ＯＣ， ∵ＣＦ是⊙Ｏ的切线， ∴ＯＣ⊥ＣＦ，∠ＯＣＦ＝９０°， ∴在Ｒｔ△ＯＣＦ中， ＯＣ＝ ＯＦ２－ＣＦ槡 ２ ＝ １３２－１２槡 ２＝５， ∴ＡＢ＝２ＯＣ＝１０， ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＣＢ＝９０°， ∵Ｄ是 ) ＡＣ的中点， ∴ＯＤ⊥ＡＣ，∠ＣＥＦ＝９０°， ∴∠ＡＣＯ＝∠Ｆ＝９０°－∠ＥＣＦ， ∵ＯＡ＝ＯＣ， ∴∠ＡＣＯ＝∠Ａ， ∴∠Ａ＝∠Ｆ， ∵∠ＡＣＢ＝∠ＯＣＦ， ∴△ＡＣＢ∽△ＦＣＯ， ∴ＢＣＯＣ＝ ＡＢ ＯＦ， ∴ＢＣ５＝ １０ １３， ∴ＢＣ＝５０１３． 练习２　如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＯ 是△ＡＢＣ的角平分线．以Ｏ为圆心，ＯＣ为半 径作⊙Ｏ，与斜边ＡＢ相切，ＡＯ交⊙Ｏ于点Ｅ， 延长ＡＯ交⊙Ｏ于点Ｄ，连接ＣＤ，若ｔａｎＤ＝２３， 求 ＡＥ ＡＣ的值． 练习２题图 解：如解图，连接ＣＥ， ∵ＤＥ为⊙Ｏ的直径， ∴∠ＤＣＥ＝９０°， ∴∠Ｄ＋∠ＤＥＣ＝９０°， ∵ＯＥ＝ＯＣ， ∴∠ＯＥＣ＝∠ＯＣＥ， ∵∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＥ＋∠ＯＣＥ＝９０°， ∴∠ＡＣＥ＝∠Ｄ， ∵∠ＣＡＥ＝∠ＤＡＣ， ∴△ＣＡＥ∽△ＤＡＣ， ∴ＡＥＡＣ＝ ＣＥ ＣＤ， ∵ｔａｎＤ＝ＣＥＣＤ＝ ２ ３， ∴ＡＥＡＣ＝ ２ ３                                                                    ． ４５ 培优册·广西数学 重 难 题 型 篇 类型二　与面积有关的计算 练习３　如图，⊙Ｏ为△ＡＢＣ的外接圆，ＡＢ为 ⊙Ｏ的直径，Ｄ为⊙Ｏ上一点，Ｅ为 ＢＡ延长 线上一点，连接 ＣＥ，ＣＥ是⊙Ｏ的切线， ∠ＡＣＥ＝∠Ｂ，若ＥＣＡＢ＝ ２ ３，ＡＥ＝２，求△ＡＢＣ的 练习３题图 面积． 解：如解图，连接 ＯＣ，过点 Ｃ作ＣＦ⊥ＡＢ于Ｆ， 设ＥＣ＝２ｘ，则ＡＢ＝３ｘ， ∴ＥＢ＝３ｘ＋２， ∵∠ＡＣＥ＝∠Ｂ，∠Ｅ＝∠Ｅ， ∴△ＥＡＣ∽△ＥＣＢ， 类型三　与弧长有关的计算 练习４　如图，点 Ｃ是半⊙Ｏ的直径 ＡＢ延长 线上一点，ＣＤ与⊙Ｏ相切于点 Ｄ，Ｅ为 ＡＢ 上一点，ＥＦ∥ＣＤ交 ＡＤ于点 Ｇ，若∠ＡＧＦ＝ ７０°，⊙Ｏ的半径为２，求 ) ＢＤ的长． 练习４题图 解：如解图，连接ＯＤ， ∵ＣＤ与⊙Ｏ相切于点Ｄ， ∴ＯＤ⊥ＤＣ， ∴∠ＯＤＣ＝９０°， ∵ＥＦ∥ＣＤ， ∴∠ＥＧＤ＋∠ＧＤＣ＝１８０°， ∵∠ＡＧＦ＝∠ＥＧＤ＝７０°， ∴∠ＧＤＣ＝１８０°－∠ＥＧＤ＝１１０°， ∴∠ＡＤＯ＝１１０°－９０°＝２０°， ∵ＯＡ＝ＯＤ， ∴∠ＯＡＤ＝∠ＯＤＡ＝２０°， ∴∠ＢＯＤ＝４０°， ∴ ) ＢＤ的长为４０·π×２１８０ ＝ ４π ９． 类型四　与三角函数有关的计算 练习５　如图，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＣＥ＝８，ＢＣ＝ １０，ＣＤ是⊙Ｏ的直径且平分∠ＡＣＢ，ＢＣ交 ⊙Ｏ于点Ｅ，ＢＤ是⊙Ｏ的切线．求ｔａｎ∠ＡＣＤ 练习５题图 的值． 解：如解图，连接ＡＤ，ＤＥ， ∵ＢＤ是⊙Ｏ的切线， ∴∠ＢＤＣ＝９０°， ∵∠ＢＤＥ＋∠ＣＤＥ＝∠ＤＣＥ＋ ∠ＣＤＥ＝９０°， ∴∠ＢＤＥ＝∠ＤＣＥ， ∵∠ＢＥＤ＝∠ＤＥＣ＝９０°， ∴△ＢＤＥ∽△ＤＣＥ， ∴ＢＥＤＥ＝ ＤＥ ＥＣ， ∴ＤＥ２＝ＢＥ·ＥＣ＝（１０－８）×８＝１６， ∴ＤＥ＝４（负值已舍去）， ∵ＣＤ平分∠ＡＣＢ，且∠ＤＡＣ＝∠ＤＥＣ＝９０°， ∴ＤＥ＝ＡＤ＝４， ∴ｔａｎ∠ＡＣＤ＝ＡＤＡＣ＝ ４ ８＝ １ ２                                                                          ． ５５ 培优册·广西数学 重 难 题 型 篇 针对训练 １．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＢＣ，以ＡＢ为直径的 ⊙Ｏ交ＡＣ于点Ｄ，ＤＥ⊥ＢＣ，垂足为Ｅ． （１）求证：ＤＥ是⊙Ｏ的切线； （２）若ＤＧ⊥ＡＢ，垂足为点Ｆ，交⊙Ｏ于点Ｇ， ∠Ａ＝３５°，⊙Ｏ的半径为５，求劣弧 ) ＧＤ的 长（结果保留π）． 第１题图 （１）证明：如解图，连接 ＢＤ、ＯＤ， ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＤＢ＝