题型2 数学建模与建模思想-【一战成名新中考】2024广西中考数学·培优册

培优册·广西数学 重 难 题 型 篇 题型二　数学建模与建模思想 （必考） 类型一　费用问题 １．某校数学组策划了首届校园数学节活动，同 学们踊跃参加．为了奖励表现优秀的同学， 学习委员为班级购买奖品后与生活委员对 话如下： （１）为什么说学习委员搞错了？ （２）学习委员连忙拿出发票，发现的确搞错 了，因为他还买了本笔记本，但笔记本的 单价已模糊不清，只记得是２元或３元， 那么笔记本的单价是多少元？ 解：（１）设单价为６元的钢笔买了 ｘ支，则单价为 １０元的钢笔买了（１００－ｘ）支，根据题意，得 ６ｘ＋１０（１００－ｘ）＝１３００－３７８，解得ｘ＝１９．５， ∵钢笔的数量不可能是小数， ∴学习委员搞错了； （２）设笔记本的单价为ａ元，根据题意，得 ６ｘ＋１０（１００－ｘ）＋ａ＝１３００－３７８， 整理，得ｘ＝１４ａ＋ ３９ ２， 当ａ＝２时，ｘ＝２０； 当ａ＝３时，ｘ＝８１４． ∵ｘ取整数， ∴笔记本的单价是２元． ２．某大型超市从水果批发市场购进哈密瓜和 苹果进行销售，两种水果的进价和售价如表 所示： 水果 名称 进价 （元／千克） 售价（元／千克） 哈密瓜 ａ １０ 苹果 ｂ 销量不超 过 １００千 克的部分 销量超过 １００千克 的部分 １６ １４ 已知超市购进２０千克哈密瓜和１０千克苹 果需要２６０元，购进１０千克哈密瓜和２０千 克苹果需要３１０元． （１）求ａ，ｂ的值； （２）若超市每天购进两种水果共１５０千克， 并在当天都销售完，其中销售哈密瓜不 少于４０千克且不超过６０千克，设每天 销售哈密瓜ｘ千克（损耗忽略不计）．分 别求出每天销售哈密瓜的利润 ｙ１（单 位：元），销售苹果的利润 ｙ２（单位：元） 与ｘ（单位：千克）的函数关系式，并写出 ｘ的取值范围． 解：（１）由题可列 ２０ａ＋１０ｂ＝２６０， １０ａ＋２０ｂ＝３１０{ ， 解得 ａ＝７， ｂ＝１２{ ； （２）根据题意，得 ｙ１＝（１０－７）ｘ＝３ｘ（４０≤ｘ≤ ６０）， 当１５０－ｘ≤１００，即５０≤ｘ≤６０时，ｙ２＝（１６－１２） ×（１５０－ｘ）＝－４ｘ＋６００； 当１５０－ｘ＞１００，即４０≤ｘ＜５０时，ｙ２＝（１６－１２） ×１００＋（１４－１２）×（１５０－ｘ－１００）＝－２ｘ＋５００， ∴ｙ２＝ －２ｘ＋５００（４０≤ｘ＜５０）， －４ｘ＋６００（５０≤ｘ≤６０）{                                                                    ． ２４ 培优册·广西数学 重 难 题 型 篇 类型二　方案设计问题 ３．为落实“五育并举”校本课程方案，红兴中学 组织本校师生参加红色研学实践活动，现租 用甲、乙两种型号的客车共１０辆（每种型号 至少一辆）送４９２名学生和１０名教师参加 此次实践活动．甲、乙两种型号客车的载客 量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人／辆） ４０ ５５ 租金（元／辆） ６００ ７００ （１）最多可以租用多少辆甲型客车？ （２）有哪几种租车方案？哪种租车方案最 省钱？ 解：（１）设租用ｘ辆甲型客车，则租用（１０－ｘ）辆乙 型客车， 根据题意得４０ｘ＋５５（１０－ｘ）≥４９２＋１０， 解得ｘ≤１６５， 又∵ｘ为正整数， ∴ｘ的最大值为３． 答：最多可以租用３辆甲型客车； （２）∵ｘ≤１６５，且ｘ为正整数， ∴ｘ可以为１，２，３， ∴共有３种租车方案， 方案１：租用１辆甲型客车，９辆乙型客车，所需租 车费用为６００×１＋７００×９＝６９００（元）； 方案２：租用２辆甲型客车，８辆乙型客车，所需租 车费用为６００×２＋７００×８＝６８００（元）； 方案３：租用３辆甲型客车，７辆乙型客车，所需租 车费用为６００×３＋７００×７＝６７００（元）． ∵６９００＞６８００＞６７００， ∴租用３辆甲型客车，７辆乙型客车最省钱． ４．王老师在某商店购买Ａ，Ｂ两种商品共三次， 其中有一次Ａ，Ｂ两种商品同时打相同折扣， 其余两次按原价购买，三次购买商品Ａ，Ｂ的 数量和总费用如下表： 购买商品Ａ 的数量／个 购买商品Ｂ 的数量／个 购买总 费用／元 第一次 购物 ３ ２ ５６０ 第二次 购物 ５ １ ８４０ 第三次 购物 ６ ２ ８３２ （１）观察表格中的数据，可知王老师以折扣 价购买商品Ａ，Ｂ是第　三　次； （２）求出商品Ａ，Ｂ的原价； （３）若王老师第四次去购买这两种商品，都 按之前的折扣共花费了１４４０元，其中 购买商品 Ａ的数量是购买商品 Ｂ的数 量的正整数倍，试推算王老师购买方案 有几种． 解：（１）三；【解法提示】∵第三次购物购买的