专题12 与折叠有关的计算-【一战成名新中考】2024广西中考数学·培优册

培优册·广西数学 模 型 方 法 篇 专题十二　与折叠有关的计算 （广西２０２３．２６，北部湾６年４考） 例　（２０１８北部湾经济区１２题３分）如图，矩形纸片ＡＢＣＤ，ＡＢ＝４，ＢＣ＝３，点Ｐ在ＢＣ边上，将 △ＣＤＰ沿ＤＰ折叠，点Ｃ落在点Ｅ处，ＰＥ、ＤＥ分别交ＡＢ于点Ｏ、Ｆ，且ＯＰ＝ＯＦ，则ｃｏｓ∠ＡＤＦ 例题图 的值为 （　Ｃ　） Ａ．１１１３　　　　　　　　　　　Ｂ． １３ １５ Ｃ．１５１７ Ｄ． １７ １９ 由矩形性质可得：　ＤＣ　＝ＡＢ＝４，　ＡＤ　＝ＢＣ＝３，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ＝∠ＤＣＢ＝∠ＢＡＤ＝　９０　°． 由折叠的性质可得：ＤＥ＝　 ＤＣ　，ＥＰ＝　 ＣＰ　，∠ＤＰＥ＝　∠ＤＰＣ　，∠ＥＤＰ＝　∠ＣＤＰ　， ∠ＤＥＰ＝　∠ＤＣＰ（或９０°）　，△ＤＥＰ≌　△ＤＣＰ　，连接ＣＥ，ＤＰ垂直平分ＣＥ． 结合其余已知条件和图形还可以得出结论：ＯＰ＝ＯＦ，∠ＰＯＢ＝　∠ＥＯＦ　，△ＥＯＦ≌ 　△ＢＯＰ　，ＢＦ＝ＯＢ＋ＯＦ＝ＯＥ＋ＯＰ＝　ＰＥ　＝　ＣＰ　． 【思路点拨】要求ｃｏｓ∠ＡＤＦ的值，即求ＡＤＤＦ的值，则求出ＤＦ的值即可，由于ＤＦ＝ＤＥ－ＥＦ，则 求出ＥＦ的值即可．设 ＥＦ＝ｘ，则 ＢＰ＝ｘ，ＤＦ＝４－ｘ，ＰＣ＝３－ｘ，ＢＦ＝３－ｘ，ＡＦ＝１＋ｘ，在 Ｒｔ△ＤＡＦ中，根据勾股定理求得ｘ的值． 练习　如图，将矩形ＡＢＣＤ的边ＡＤ折叠，使点Ｄ落在ＢＣ上的点Ｆ处，折痕为ＡＥ．已知ＡＢ＝６， ＢＦ＝８，则ＦＣ的长为　　　　，ＥＦ的长为　　　　． 练习题图 针对训练 １．（２０２３吉林）如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝ ９０°，ＢＣ＜ＡＣ．点 Ｄ，Ｅ分别在边 ＡＢ，ＢＣ上， 连接ＤＥ，将△ＢＤＥ沿ＤＥ折叠，点Ｂ的对应 点为点 Ｂ′，若点 Ｂ′刚好落在边 ＡＣ上， ∠ＣＢ′Ｅ＝３０°，ＣＥ＝３，则ＢＣ的长为　９　． 第１题图 　　　 第２题图 ２．如图，已知长方形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＡＤ＝９， 将此长方形折叠，使点 Ｂ与点 Ｄ重合，折痕 为ＥＦ，则△ＢＥＦ的面积为 （　Ｂ　） Ａ．６　　　Ｂ．７．５　　　Ｃ．１２　　　Ｄ．１５ ３．如图，矩形ＡＢＣＤ沿着直线ＢＤ折叠，使点Ｃ 落在点 Ｃ′处，ＢＣ′交 ＡＤ于点 Ｅ，ＡＤ＝１６， ＡＢ＝８，则Ｃ′Ｅ的长为 （　Ｂ　） Ａ．４ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．１０ 第３题图 　　　 第４题图 ４．（２０２３随州）如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝５， ＡＤ＝４，Ｍ是边ＡＢ上一动点（不含端点），将 △ＡＤＭ沿直线 ＤＭ对折，得到△ＮＤＭ．当射 线 ＣＮ交线段 ＡＢ于点 Ｐ时，连接 ＤＰ，则 △ＣＤＰ的面积为　１０　；ＤＰ的最大值 为　２槡５　                         ． ７３ 培优册·广西数学 模 型 方 法 篇 ５．（２０２３宜昌）如图，小宇将一张平行四边形 纸片折叠，使点 Ａ落在长边 ＣＤ上的点 Ａ′ 处，并得到折痕 ＤＥ，小宇测得长边 ＣＤ＝８， 则四边形Ａ′ＥＢＣ的周长为　　　　． 第５题图 ６．（２０２３凉山州）如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ纸片中， ∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ是 ＡＢ边上的中线，将 △ＡＣＤ沿ＣＤ折叠，当点Ａ落在点Ａ′处时，恰 好ＣＡ′⊥ＡＢ，若ＢＣ＝２，则ＣＡ′＝　　　　． 第６题图 ７．（２０２３桂林二模）如图，把一张矩形纸片ＡＢ ＣＤ按如下方法进行两次折叠：第一次将ＤＡ 边折叠到 ＤＣ边上得到 ＤＡ′，折痕为 ＤＭ，连 接Ａ′Ｍ，ＣＭ；第二次将△ＭＢＣ沿着 ＭＣ折 叠，ＭＢ恰好落在 ＭＤ边上．则该矩形纸片 ＡＢＣＤ的长宽比ＡＢＡＤ的值为 （　Ｄ　） 第７题图 Ａ．３２　 　Ｂ． 槡２＋１ ２ 　 　Ｃ．槡３　 　Ｄ．槡２ ８．如图，对折矩形纸片 ＡＢＣＤ，使 ＡＤ与 ＢＣ重 合，得到折痕 ＥＦ；把纸片展平后再次折叠， 使点Ａ落在ＥＦ上的点Ａ′处，得到折痕ＢＭ， ＢＭ与ＥＦ相交于点Ｎ．ＥＮ＝１，则ＢＥ的长为 （　Ｂ　） 第８题图 Ａ．槡３２ Ｂ．槡３ Ｃ．２槡３ Ｄ．２ ９．（２０２３仙桃）如图，将边长为３的正方形ＡＢ ＣＤ沿直线 ＥＦ折叠，使点 Ｂ的对应点 Ｍ落 在边ＡＤ上（点 Ｍ不与点 Ａ，Ｄ重合），点 Ｃ 落在点Ｎ处，ＭＮ与ＣＤ交于点Ｐ，折痕分别 与边ＡＢ，ＣＤ交于点Ｅ，Ｆ，连接ＢＭ． （１）求证：∠ＡＭＢ＝∠ＢＭＰ； （２）若ＤＰ＝１，求ＭＤ的长． 第９题图 （１）证明：由折叠的性质可知 ＢＥ＝ＥＭ，∠ＥＭＮ ＝∠ＥＢＣ， ∴∠ＥＢＭ＝∠ＥＭＢ，∴∠ＭＢＣ＝∠ＢＭＰ， ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＡＤ∥ＢＣ，∠ＡＢＣ＝９０°， ∴∠ＭＢＣ＝∠ＡＭＢ， ∴∠ＡＭＢ＝∠ＢＭＰ． （２）解：设ＭＤ＝ｘ，则ＡＭ＝３－ｘ， 设ＡＥ＝ｙ，则ＥＭ＝ＥＢ＝３－ｙ． 在Ｒｔ△ＡＥＭ中，ＡＥ２＋ＡＭ２＝Ｅ