专题11 线段最值问题-【一战成名新中考】2024广西中考数学·培优册

培优册·广西数学 模 型 方 法 篇 专题十一　线段最值问题 （北部湾６年２考） 类 型 一　将军饮马模型 已知直线ｌ，Ａ，Ｂ是直线ｌ外两点，点Ｐ是直线ｌ上一动点，确定点Ｐ的位置，使得ＰＡ＋ＰＢ的值 最小 模型 图示 作法 原理 点 Ａ，Ｂ在 直线ｌ异侧 连接ＡＢ交直线 ｌ于点 Ｐ，点 Ｐ即 为所求作的点 点 Ａ，Ｂ在 直线ｌ同侧 作点Ａ关于直线ｌ的对称点Ａ′，连 接Ａ′Ｂ交直线ｌ于点Ｐ，点Ｐ即为 所求作的点 两点之间线段最短 练习１　唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗 中隐含着一个有趣的数学问题．如图①，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的 Ａ点出发，走 到河的旁边饮马后再到Ｂ点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？请你用所学的数学知 识在图②中画出． 　　 　　　　　练习１题图 其他常见模型 问题描述 图示 作法 原理 点 Ｐ在∠ＡＯＢ的内 部，Ｃ，Ｄ分别是ＯＡ， ＯＢ上的动点，确定 点 Ｃ，Ｄ的位置，使 得ＰＤ＋ＣＤ最小 作点 Ｐ关于 ＯＢ的对称点 Ｐ′， 过点Ｐ′作Ｐ′Ｃ⊥ＯＡ交ＯＢ于点 Ｄ，点Ｃ，Ｄ即为所求 垂线段最短 ２３ 培优册·广西数学 模 型 方 法 篇 点 Ｐ在∠ＡＯＢ的内 部，Ｃ，Ｄ分别是ＯＡ， ＯＢ上的动点，确定 点 Ｃ，Ｄ的位置，使 得ＰＤ＋ＣＤ＋ＰＣ（即 △ＰＣＤ 的 周 长 ） 最小 分别作点 Ｐ关于 ＯＡ，ＯＢ的对 称点 Ｐ′，Ｐ″，连接 Ｐ′Ｐ″，交 ＯＡ， ＯＢ于点Ｃ，Ｄ，点Ｃ，Ｄ即为所求 两点之间线段 最短 点Ｐ，Ｑ在∠ＡＯＢ的 内部，Ｃ，Ｄ分别是 ＯＡ，ＯＢ上的动点， 确定点 Ｃ，Ｄ的位 置，使得 ＰＱ＋ＱＤ＋ ＣＤ＋ＰＣ（即四边形 ＰＱＤＣ的周长）最小 分别作点 Ｐ关于 ＯＡ的对称点 Ｐ′，点Ｑ关于ＯＢ的对称点Ｑ′， 连接 Ｐ′Ｑ′，交 ＯＡ，ＯＢ于点 Ｃ， Ｄ，点Ｃ，Ｄ即为所求 两点之间线段 最短 练习２　如图，在等边△ＡＢＣ中，ＡＢ＝６，ＡＤ⊥ＢＣ，Ｅ是ＡＣ上的一点，Ｍ是ＡＤ上的动点，若ＡＥ＝ ２，则ＭＥ＋ＭＣ的最小值为 （　Ａ　） Ａ．２槡７　　　　　　　　Ｂ．２　　　　　　　　Ｃ．４　　　　　　　　Ｄ．槡１３ 练习２题图 　　　　 变式训练题图 变式训练　如图，在等边△ＡＢＣ中，ＡＢ＝６，ＡＤ⊥ＢＣ，Ｅ是ＡＣ上的动点，Ｍ是ＡＤ上的动点，则 ＭＣ＋ＭＥ的最小值为 （　Ｄ　） Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．２槡３ Ｄ．３槡３ 类 型 二　造桥选址模型 问题描述 图示 作法 原理 已知直线 ｍ∥ｎ，在 直线 ｍ，ｎ上分别求 点Ｍ、Ｎ，使 ＭＮ⊥直 线ｍ，且ＡＭ＋ＭＮ＋ ＢＮ的值最小 将点 Ａ向下平移 ＭＮ的长度单位 得点 Ａ′，连接 Ａ′Ｂ交直线 ｎ于点 Ｎ，过点Ｎ作ＭＮ⊥直线ｍ于点Ｍ， 连接ＡＭ，点Ｍ，Ｎ即为所求 两点之间线段 最短 ３３ 培优册·广西数学 模 型 方 法 篇 在直线 ｌ上求两点 Ｐ，Ｐ′（点 Ｐ在点 Ｐ′ 左侧），并使 ＡＰ＋ ＰＰ′＋Ｐ′Ｂ的值最小 将点 Ａ向右平移 ＰＰ′的长度单位 得点Ａ′，作点Ｂ关于直线ｌ的对称 点Ｂ′，连接 Ａ′Ｂ′，Ａ′Ｂ′与直线 ｌ的 交点即为点 Ｐ′，将点 Ｐ′向左平移 ＰＰ′的长度单位即为点Ｐ 两点之间线 段最短 练习３　如图，Ａ和Ｂ两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥ＭＮ，使从Ａ到Ｂ的路径ＡＭ－ ＭＮ－ＮＢ最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直） （　Ｄ　） 练习３题图 　 类 型 三　胡不归模型 问题描述 已知点Ｐ是直线ＢＣ上一动点，点Ａ是直线ＢＣ外一定点，连接ＰＡ，求ＰＡ＋ｋ· ＰＢ的最小值（０＜ｋ＜１） 图示 作法 在直线ＢＣ异于点Ａ的一侧作∠ＣＢＥ＝α，使 ｓｉｎα＝ｋ，过 点Ｐ作ＰＤ⊥ＢＥ于点Ｄ，则ＰＤ＝ＰＢ·ｓｉｎα＝ｋ·ＰＢ，则求 ＰＡ＋ｋ·ＰＢ的最小值即为求ＰＡ＋ＰＤ的最小值； 过点Ａ作ＡＤ′⊥ＢＥ于点Ｄ′，ＡＤ′交ＢＣ于点Ｐ′，点Ｐ′即为 ＰＡ＋ｋ·ＰＢ取最小值时点Ｐ的位置 原理 垂线段最短 练习４　如图，∠ＡＯＢ＝３０°，ＯＭ＝２，Ｄ为ＯＢ上一动点，则ＭＤ＋１２ＯＤ的最小值为 （　Ａ　） 练习４题图 Ａ．槡３ 　　　　　Ｂ．２槡３ Ｃ．２ 　　　　　Ｄ．槡３２ ４３ 培优册·广西数学 模 型 方 法 篇 类 型 四　阿氏圆模型 问题描述 已知点Ｐ为⊙Ｏ上一动点，点 Ａ，Ｂ为⊙Ｏ外两定点，连接 ＰＢ，ＰＡ，求 ＰＡ＋ｋ· ＰＢ的最小值（０＜ｋ＜１），其中ｒ＝ｋ·ＯＢ 图示 作法 　 在线段 ＯＢ上截取 ＯＣ＝ｋ·ｒ＝ｋ·ＯＰ，则可得 △ＯＢＰ∽△ＯＰＣ（ＯＰ＝ｒ＝ｋ·ＯＢ，∴ＯＰＯＢ＝ ＯＣ ＯＰ＝ ｋ，∠ＰＯＣ＝∠ＢＯＰ，故△ＯＢＰ∽△ＯＰＣ），∴ＰＣ ＝ｋ·ＰＢ，则求ＰＡ＋ｋ·ＰＢ的最小值即为求ＰＡ ＋ＰＣ的最小值；连接ＡＣ，交⊙Ｏ于点Ｐ′，点Ｐ′即 为ＰＡ＋