专题10 辅助圆及与圆有关的最值问题-【一战成名新中考】2024广西中考数学·培优册

培优册·广西数学 模 型 方 法 篇 专题十 辅助圆及与圆有关的最值问题 （北部湾６年２考） 一、与圆有关的最值 １．点圆最值 已知平面内一点Ａ和⊙Ｏ，点Ｐ是⊙Ｏ上一动点．若⊙Ｏ的半径为ｒ，ＯＡ＝ｄ，求Ａ、Ｐ两点间距离 最值． 图形背景 最小值 最大值 点Ａ在 圆内 当点 Ｐ在 ＯＡ的延长线上时， ＡＰ取得最小值ｒ－ｄ 当点 Ｐ在 ＡＯ的延长线上 时，ＡＰ取得最大值ｒ＋ｄ 点Ａ在 圆外 当点Ｐ在ＯＡ上时，ＡＰ取得最 小值ｄ－ｒ 当点 Ｐ在 ＡＯ的延长线上 时，ＡＰ取得最大值ｄ＋ｒ 练习１　（２０２２柳州改编）如图，正方形ＡＢＣＤ的边长为４，点Ｐ是以ＡＢ为直径的半圆Ｏ上一 点，则ＣＰ的最小值为　　　　． 练习１题图 ２．线圆最值 已知⊙Ｏ及直线ｌ，点Ｍ是⊙Ｏ上一动点．若⊙Ｏ的半径为ｒ，圆心Ｏ到直线ｌ的距离为ｄ．求点 Ｍ到直线ｌ的距离最值． 图形背景 最小值 最大值 直线与 圆相离 过点 Ｏ作直线 ｌ的垂线，交 ⊙Ｏ于点Ｍ，此时点Ｍ到直线 ｌ的距离取得最小值ｄ－ｒ 过点 Ｏ作直线 ｌ的垂线，其 反向延长线交⊙Ｏ于点 Ｍ， 此时点Ｍ到直线ｌ的距离取 得最大值ｄ＋ｒ ７２ 培优册·广西数学 模 型 方 法 篇 直线与 圆相交 当点Ｍ为直线ｌ与⊙Ｏ的交点 时，点Ｍ到直线 ｌ的距离取得 最小值０ 连接 ＭＯ并延长，当 ＭＯ与 直线ｌ垂直时，点Ｍ到直线ｌ 的距离取得最大值ｒ＋ｄ ★拓展 直线ｌ 上一点 向圆作 切线， 切线 长最值 连接ＯＮ，当ＯＮ⊥ｌ时，点Ｍ与 点 Ｎ 的 距 离 取 得 最 小 值 ｄ２－ｒ槡 ２ ——— 练习２　（优质原创）如图，ＡＢ是⊙Ｏ的弦，Ｃ是⊙Ｏ上一动点，连接ＡＣ，ＢＣ，若⊙Ｏ的半径为５， ＡＢ＝８，则点Ｃ到ＡＢ距离的最大值为　　　　，△ＡＢＣ面积的最大值为　　　　． 练习２题图 　　　　　 练习３题图 练习３　（优质原创）如图，在边长为２的菱形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝６０°，Ｍ是ＡＤ边的中点，⊙Ｍ经过 点Ａ，点Ｎ为⊙Ｍ上一动点，连接 ＢＮ，ＣＮ．则点 Ｎ到直线 ＢＣ距离的最小值为　槡３－１　， △ＢＣＮ面积的最小值为　槡３－１　． 二、辅助圆 １．定点定长 基本图形 衍生图形 到点 Ｏ距离相等的 点在同一个圆上 定长线段ＡＢ在直角两 边上运动，线段中点的 轨迹是一个 １ ４圆 点Ｂ在⊙Ｏ上运动，线 段 ＡＢ的中点 Ｍ在以 线段 ＡＯ中点 Ｎ为圆 心， １ ２ＯＢ长为半径的 圆上运动 折痕上有一定点 时，折叠必形成圆 ８２ 培优册·广西数学 模 型 方 法 篇 练习４　如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ，∠ＣＡＤ＝２∠ＢＡＣ，若∠ＢＣＤ＝１０５°，则∠ＢＤＣ＝ 　　　　°． 练习４题图 　　　 练习５题图 练习５　如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝４，ＡＢ＝１２ＡＣ，Ｄ是 ＢＣ边上一动点，将△ＡＢＤ 沿ＡＤ翻折，得到△ＡＢ′Ｄ．点Ｄ从点Ｂ出发沿ＢＣ方向运动，当点Ｂ′落在ＡＣ边上时，点Ｄ停 止运动，则在点Ｄ的运动过程中，点Ｂ′的运动路径长为　　　　． ２．四点共圆 异侧对角互补 同侧角相等 图形背景 　 　 依据 圆内接四边形对角互补 同弧所对的圆周角相等 结论 ∠ＡＣＢ＋∠ＡＤＢ＝１８０° ∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ ３．定弦定角 非９０°定角 ９０°定角 图形背景 模型背景 ＡＢ为定线段，点Ｃ为动点，∠ＡＣＢ的 度数为定值 ＡＢ为定线段，点Ｃ为动点，∠ＡＣＢ＝９０° 练习６　如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＢＣ＝６，Ｅ是矩形内部的一个动点，且 ＡＥ⊥ＢＥ，则线段 ＣＥ的最小值为 （　Ｂ　） 练习６题图 Ａ．３２　　　　　　　Ｂ．２槡１０－２　　　　　　　Ｃ．２槡１３－２　　　　　　　Ｄ．４ ９２ 培优册·广西数学 模 型 方 法 篇 ４．最大张角 问题描述 已知点Ａ，Ｂ是∠ＭＯＮ的边ＯＮ上的两个定点，点Ｃ是 边ＯＭ上的动点，则当Ｃ在何处时，∠ＡＣＢ最大 构图 当且仅当△ＡＢＣ的外接圆与边 ＯＭ相切于点 Ｃ时， ∠ＡＣＢ最大 证明 设Ｃ′是边ＯＭ上不同于点Ｃ的任意一点，连接ＡＣ′，ＢＣ′， ＢＣ′交⊙Ｉ于点Ｄ，连接ＡＤ，由圆周角定理可知∠ＡＣＢ＝ ∠ＡＤＢ，由三角形内外角关系可知∠ＡＤＢ＞∠ＡＣ′Ｂ， ∴∠ＡＣＢ＞∠ＡＣ′Ｂ．∴当⊙Ｉ与边ＯＭ相切时∠ＡＣＢ最大 练习７题图 练习７　（２０２２桂林）如图，某雕塑ＭＮ位于河段ＯＡ上，游客Ｐ在步道上由 点Ｏ出发沿 ＯＢ方向行走．已知∠ＡＯＢ＝３０°，ＭＮ＝２ＯＭ＝４０ｍ，当观景 视角∠ＭＰＮ最大时，游客Ｐ行走的距离ＯＰ是　　　　米． 针对训练 １．如图，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝５，∠ＡＣＢ＝９０°， ∠ＣＰＢ＝∠Ａ，ｔａｎ∠ＣＰＢ＝３４，过点 Ｃ作 ＣＰ 的垂线，与ＰＢ的延长线交于点Ｑ，则ＣＱ的 最大值是　　　　． 第１题图 ２．（２０２３南宁三十七中６