专题8 瓜豆模型&专题9 十字模型-【一战成名新中考】2024广西中考数学·培优册

培优册·广西数学 模 型 方 法 篇 专题八　瓜豆模型 （广西２０２３．１８） 模型解读：一个点随另一个点的运动而运 动，前者称为从动点，后者称为主动点，从动点 的轨迹与主动点的轨迹图形形状相同，即主动 点轨迹为圆时，从动点轨迹也为圆，主动点轨 迹为直线时，从动点轨迹也为直线． 例１　 （一题多解法）如图，点Ａ的坐标为（４， ３），ＡＢ⊥ｘ轴于点 Ｂ，点 Ｃ为坐标平面内一 点，ＯＣ＝２，点 Ｄ为线段 ＡＣ的中点，连接 ＢＤ，则ＢＤ的最大值为　　　　． 例１题图 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 【点拨】主动点轨迹为圆时，连接定点 （Ａ）与主动点轨迹的圆心（Ｏ），通过从 动点与主动点的位置关系，确定从动点 轨迹的圆心． 例２　（一题多解法）如图，在矩形 ＡＢＣＤ中， ＡＢ＝２，ＢＣ＝４，点 Ｐ是 ＢＣ上的动点，连接 ＰＡ，将 ＰＡ绕点 Ｐ顺时针旋转９０°得到线段 ＰＥ，连接ＣＥ．Ｐ从点Ｂ向点 Ｃ运动过程中， ＣＥ的最小值为　　　　． 例２题图 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 【点拨】主动点的轨迹为直线时，构造初 始状态的图形（即Ｂ，Ｐ重合时），连接对 应点，可通过手拉手全等或相似，得到从 动点的运动轨迹． 针对训练 １．（一题多解法）如图，∠ＡＯＢ＝３０°，ＯＤ＝４，当 点 Ｃ在 ＯＡ上运动时，作等腰直角△ＣＤＥ， ＣＤ＝ＤＥ，则 Ｏ，Ｅ两点间距离的最小值 为　　　　． 第１题图 ２．（２０２２广州）如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＢＣ＝ ２ＡＢ，点 Ｐ为边 ＡＤ上的一个动点，线段 ＢＰ 绕点Ｂ顺时针旋转６０°得到线段 ＢＰ′，连接 ＰＰ′，ＣＰ′．当点 Ｐ′落在边 ＢＣ上时，∠ＰＰ′Ｃ 的度数为　　　　；当线段ＣＰ′的长度最小 时，∠ＰＰ′Ｃ的度数为　　　　． 第２题图 ３．（２０２３宜宾）如图，Ｍ是正方形 ＡＢＣＤ边 ＣＤ 的中点，Ｐ是正方形内一点，连接 ＢＰ，线段 ＢＰ以 Ｂ为中心逆时针旋转 ９０°得到线段 ＢＱ，连接ＭＱ．若ＡＢ＝４，ＭＰ＝１，则ＭＱ的最 小值为　　　　　． 第３题图                                                                    ３２ 培优册·广西数学 模 型 方 法 篇 专题九　十字模型 （北部湾６年２考） 一、正方形中的十字模型 图形 结论 △ＡＢＥ≌△ＢＣＦ，ＡＥ＝ＢＦ 作 ＦＨ⊥ ＡＤ，△ＡＤＧ≌ △ＨＦＥ，ＡＧ＝ＥＨ 作 ＣＨ∥ ＥＦ，△ＡＤＧ≌ △ＤＣＨ，ＡＧ＝ＤＨ 拓展 　　　　　 　　　　　　　　　△ＧＮＨ≌△ＦＭＥ　　　　 △ＤＡＮ≌△ＣＤＭ 练习１　如图，点Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是正方形ＡＢＣＤ的边ＡＤ、ＢＣ、ＡＢ上的点，连接ＤＧ，ＥＦ，ＧＦ，且ＥＦ ＝ＤＧ，ＤＥ＝２ＡＧ，∠ＡＤＧ的度数为α，求∠ＥＦＧ的度数． 练习１题图 解：∵四边形ＡＢＣＤ为正方形， ∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ，∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝∠ＡＤＣ＝９０°， 如解图，过点Ｆ作ＦＨ⊥ＡＤ于点Ｈ，则四边形ＣＤＨＦ为矩形， ∴ＦＨ＝ＣＤ，ＤＨ＝ＣＦ，∠ＦＨＥ＝９０°， ∴ＦＨ＝ＡＤ， 在Ｒｔ△ＦＨＥ和Ｒｔ△ＤＡＧ中， ＦＨ＝ＡＤ， ＥＦ＝ＤＧ{ ， ∴Ｒｔ△ＦＨＥ≌Ｒｔ△ＤＡＧ（ＨＬ）， ∴ＥＨ＝ＡＧ，∠ＨＦＥ＝∠ＡＤＧ＝α， ∵ＤＥ＝２ＡＧ， ∴ＤＥ＝２ＥＨ，即点Ｈ为ＤＥ中点， ∴ＥＨ＝ＤＨ＝ＡＧ＝ＣＦ， ∴ＡＢ－ＡＧ＝ＢＣ－ＣＦ，即ＢＧ＝ＢＦ， ∴△ＢＦＧ为等腰直角三角形，∠ＢＦＧ＝４５°， ∴∠ＥＦＧ＝９０°－∠ＢＦＧ－∠ＨＦＥ＝９０°－４５°－α＝４５°－α． ４２ 培优册·广西数学 模 型 方 法 篇 二、矩形中的十字模型 图形 结论 △ＡＢＮ∽△ＤＡＭ， ＢＮ ＡＭ＝ ＡＢ ＤＡ＝ ＡＮ ＤＭ 作ＥＧ⊥ＢＣ， △ＡＤＣ∽△ＥＧＦ， ＡＤ ＥＧ＝ ＤＣ ＦＧ＝ ＡＣ ＥＦ 作ＢＨ∥ＥＦ， △ＡＢＨ∽△ＤＡＣ， ＡＢ ＤＡ＝ ＡＨ ＤＣ＝ ＢＨ ＡＣ 拓展 　△ＡＢＮ∽△ＤＡＭ 练习２　如图，在矩形ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别是边ＤＣ，ＢＣ上的点，连接ＡＥ，ＤＦ，且ＡＥ⊥ＤＦ于点 Ｇ，若ＡＢ＝６，ＢＣ＝８，求ＤＦＡＥ的值． 练习２题图 解：∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴∠Ｃ＝∠ＡＤＥ＝９０°，ＡＢ＝ＣＤ＝６，ＢＣ＝ＡＤ＝８， ∵ＡＥ⊥ＤＦ， ∴∠ＡＧＤ＝９０°， ∴∠ＤＡＧ＋∠ＡＤＧ＝９０°，∠ＡＤＧ＋∠ＦＤＣ＝９０°， ∴∠ＤＡ