专题7 全等相似模型-【一战成名新中考】2024广西中考数学·培优册

培优册·广西数学 模 型 方 法 篇 专题七　全等相似模型 （必考） 类 型 一　全等———倍长中线模型 基本型 中点型 中点＋平行线型 图形 　 在△ＡＢＣ中，ＡＤ为 ＢＣ边 上的中线 　 Ｃ为ＡＢ的中点 　 ＡＢ∥ＣＤ，点Ｅ为线段ＡＤ的 中点 证明 思路 延长 ＡＤ至点 Ｅ，使得 ＤＥ ＝ＡＤ．若 连 接 ＢＥ，则 △ＢＤＥ≌△ＣＤＡ；若连接 ＥＣ，则△ＡＢＤ≌△ＥＣＤ 若延长 ＥＣ至点 Ｆ，使得 ＣＦ＝ＥＣ，连 接 ＡＦ，则 △ＢＣＥ≌△ＡＣＦ；若延长 ＤＣ至点 Ｇ，使得 ＣＧ＝ ＤＣ，连接 ＢＧ，则 △ＡＣＤ ≌△ＢＣＧ 延长ＣＥ交ＡＢ（或ＢＡ的延 长线）于点 Ｆ，则△ＥＤＣ ≌△ＥＡＦ 练习１　如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ为ＢＣ的中点，若ＡＢ＝１３，ＡＣ＝５，ＡＤ＝６，求△ＡＢＣ的面积． 练习１题图 解：如解图，延长ＡＤ至点Ｅ，使ＥＤ＝ＡＤ，连接ＢＥ， ∵Ｄ为ＢＣ的中点，∴ＣＤ＝ＢＤ，在△ＡＣＤ和△ＥＢＤ中， ＡＤ＝ＥＤ， ∠ＡＤＣ＝∠ＥＤＢ， ＣＤ＝ＢＤ { ， ∴△ＡＣＤ≌△ＥＢＤ（ＳＡＳ），∴ＡＣ＝ＢＥ，Ｓ△ＡＣＤ＝Ｓ△ＥＢＤ，∴Ｓ△ＡＢＥ＝Ｓ△ＡＢＣ， ∵ＡＣ＝５，ＡＤ＝６，∴ＢＥ＝５，ＡＥ＝１２，∵ＡＢ＝１３，∴ＡＢ２＝ＢＥ２＋ＡＥ２， ∴△ＡＢＥ为直角三角形，且∠ＡＥＢ＝９０°，∴Ｓ△ＡＢＥ＝ １ ２ＡＥ·ＢＥ＝ １ ２×１２×５＝３０，∴△ＡＢＣ的面积是３０． 类 型 二　全等———截长补短 截长法：即在一条较长的线段上截取一段 较短的线段 补短法：即在一段较短的线段上补一段线段 使其和较长的线段相等 在ＡＢ上截取ＡＥ＝ＡＣ 若ＡＤ平分∠ＢＡＣ，则△ＡＥＤ≌△ＡＣＤ 延长ＡＣ至点Ｆ，使得ＡＦ＝ＡＢ 若ＡＤ平分∠ＢＡＣ，则△ＡＤＢ≌△ＡＤＦ ５１ 培优册·广西数学 模 型 方 法 篇 例　（一题多解法）如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝２∠Ｂ，ＡＢ＞ＡＣ，ＡＤ平分∠ＢＡＣ交ＢＣ于点Ｄ．猜想 线段ＡＢ，ＡＣ，ＣＤ之间的关系，并证明． 例题图 截长法：解：ＡＢ＝ＡＣ＋ＣＤ． 证明：如解图①，在ＡＢ上截取ＡＥ＝ＡＣ， ∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ， ∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ， 在△ＡＥＤ和△ＡＣＤ中， ＡＥ＝ＡＣ， ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ， ＡＤ＝ＡＤ { ， ∴△ＡＥＤ≌△ＡＣＤ（ＳＡＳ）， ∴ＤＥ＝ＤＣ，∠ＡＥＤ＝∠ＡＣＤ＝２∠Ｂ＝∠Ｂ＋∠ＥＤＢ， ∴∠Ｂ＝∠ＥＤＢ， ∴ＤＥ＝ＢＥ，∴ＢＥ＝ＣＤ， ∴ＡＢ＝ＡＥ＋ＢＥ＝ＡＣ＋ＣＤ． 补短法：解：ＡＢ＝ＡＣ＋ＣＤ． 证明：如解图②，延长ＡＣ至点Ｆ，使得ＡＦ＝ＡＢ，同理证得△ＡＢＤ≌△ＡＦＤ， ∴ＡＢ＝ＡＦ，∠Ｂ＝∠Ｆ， ∵∠ＡＣＤ＝２∠Ｂ＝∠Ｆ＋∠ＣＤＦ，∴∠Ｆ＝∠ＣＤＦ， ∴ＣＤ＝ＣＦ， ∴ＡＦ＝ＡＣ＋ＣＦ，即ＡＢ＝ＡＣ＋ＣＤ． 练习２　如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＢＣ＞ＢＡ，∠Ａ＋∠Ｃ＝１８０°，ＤＥ⊥ＢＣ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，求证： 练习２题图 ＡＤ＝ＣＤ． 证明：如解图，过点Ｄ作ＤＦ⊥ＡＢ，交ＢＡ的延长线于点Ｆ， ∵ＤＥ⊥ＢＣ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ， ∴ＤＥ＝ＤＦ，∠Ｆ＝∠ＤＥＣ＝９０°， ∵∠ＢＡＤ＋∠Ｃ＝１８０°，且∠ＢＡＤ＋∠ＤＡＦ＝１８０°， ∴∠ＤＡＦ＝∠Ｃ， 在△ＡＤＦ和△ＣＤＥ中， ∠ＤＡＦ＝∠Ｃ， ∠Ｆ＝∠ＤＥＣ， ＤＦ＝ＤＥ { ， ∴△ＡＤＦ≌△ＣＤＥ（ＡＡＳ）， ∴ＡＤ＝ＣＤ． ６１ 培优册·广西数学 模 型 方 法 篇 类 型 三　全等———半角模型 基本模型 重要结论 ①△ＡＥＦ≌△ＡＥＧ；②ＥＦ＝ＢＥ＋ＤＦ；③连接ＧＦ，△ＡＧＦ为等腰直角三角形 其他常见 半角模型 １２０°含６０° ６０°含３０° 重要结论 将△ＡＢＤ绕点Ａ逆时针旋转１２０°（６０°）得到△ＡＣＤ′，连接Ｄ′Ｅ，则△ＡＤＥ≌△ＡＤ′Ｅ 练习３　如图，已知正方形ＡＢＣＤ的边长为３，Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＢＣ边上的点，且∠ＥＤＦ＝４５°，若 ＡＥ＝１，则ＥＦ的长为　　　　． 练习３题图 　　　　 练习４题图 练习４　如图，已知△ＡＢＣ是边长为６的等边三角形，∠ＢＤＣ＝１２０°，ＢＤ＝ＣＤ，点 Ｍ，Ｎ分别是 ＡＢ，ＡＣ边上的点，且∠ＭＤＮ＝６０°．连接ＭＮ，则△ＡＭＮ的周长是 （　Ｄ　） Ａ．５　　　　　　　Ｂ．６　　　　　　　Ｃ．９　　　　　　　Ｄ．１２ 类 型 四　从全等到相似———一线三等角模型 １．全等———一线三等角模型 基本图形 条件 ∠１＝∠２＝∠３，ＣＥ＝ＡＢ 证明思路 利用同角的补角相等转化找等角 ∵∠１＋∠Ｂ＋∠ＢＣＡ＝１８０°，∠ＢＣＡ＋∠２＋∠ＤＣＥ＝１８０°，∠１＝∠２，∠ＢＣＡ＝ ∠ＢＣＡ，∴∠Ｂ＝∠ＤＣＥ．∴△ＡＢＣ≌△ＥＣＤ（ＡＳＡ） 总结 ∠１＝∠２＝∠３＝α（０°＜α＜１８０°）＋任一边相等→△ＡＢＣ≌△ＥＣＤ 变形 　　 　　 ７１ 培优册·广西数学 模 型