专题5 倍半角模型&专题6 利用等面积法解题-【一战成名新中考】2024广西中考数学·培优册

培优册·广西数学 模 型 方 法 篇 专题五　倍半角模型 图形 作法 向外作等腰三角形 向内作等腰三角形 结论 △ＡＢＤ是等腰三角形，ＡＢ＝ＢＤ， ∠ＡＤＢ＝∠ＢＡＤ＝１２∠ＡＢＣ △ＢＣＤ是等腰三角形，ＢＤ＝ＣＤ， ∠ＤＢＣ＝∠ＤＣＢ＝１２∠ＡＤＢ ★一些特殊“半角” 图形 结论 １５°角 ｔａｎ１５°＝ ＢＣ ＤＣ＝ １ ２＋槡３ ＝２－槡３ ２２．５°角 ｔａｎ２２．５°＝ ＢＣ ＤＣ＝ １ 槡２＋１ ＝　槡２－１　 针对训练 １．（一题多解法）如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝ ２∠Ｃ，ＡＤ⊥ＢＣ于 Ｄ，Ｍ为 ＢＣ的中点，若 ＡＢ＝４，则ＤＭ的值为 （　Ｄ　） Ａ．１　　　Ｂ．３２　　　Ｃ．槡２　　　Ｄ．２ 第１题图 　　 第２题图 ２．如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１，点 Ｅ，Ｆ分 别在边ＢＣ和ＣＤ上，ＡＥ＝ＡＦ，∠ＥＡＦ＝６０°， 则ＣＦ的长是 （　Ｃ　） Ａ．槡３＋１４ 　　Ｂ． 槡３ ２　　Ｃ．槡３－１　　Ｄ． ２ ３ ３．如图，在△ＡＢＣ中，点 Ｅ在边 ＡＣ上，ＥＢ＝ ＥＡ，∠Ａ＝２∠ＣＢＥ，ＣＤ⊥ＢＥ交ＢＥ的延长线 于点Ｄ，ＢＤ＝８，ＡＣ＝１１，求边ＢＣ的长． 第３题图 解：如解图，延长 ＢＤ到点 Ｆ， 使得ＤＦ＝ＢＤ，连接ＣＦ， ∵ＣＤ⊥ＢＦ，∴△ＢＣＦ是等腰 三角形，∴∠１＝∠２， ∴∠３＝∠４，∠Ａ＝∠ＨＣＥ， ∵ＥＢ＝ＥＡ，∴∠Ａ＝∠３， 过点 Ｃ作 ＣＨ∥ ＡＢ，交 ＢＦ于点 Ｈ，∴ ∠４ ＝∠ＨＣＥ， ∴ＥＨ＝ＣＥ， ∵ＥＡ＝ＥＢ，∴ＡＣ＝ＢＨ， ∵ＢＤ＝８，ＡＣ＝１１， ∴ＤＨ＝ＢＨ－ＢＤ＝ＡＣ－ＢＤ＝３， ∵∠Ａ＝２∠１，∴∠４＝２∠１＝２∠２， ∵∠４＝∠２＋∠ＨＣＦ，∴∠２＝∠ＨＣＦ， ∴ＨＦ＝ＨＣ＝ＤＦ－ＤＨ＝８－３＝５， 在Ｒｔ△ＣＤＨ中，由勾股定理得ＣＤ＝ ５２－３槡 ２＝４， 在Ｒｔ△ＢＣＤ中，ＢＣ＝ ８２＋４槡 ２＝４槡５                                ． ２１ 培优册·广西数学 模 型 方 法 篇 专题六　利用等面积法解题 （北部湾６年１考） 同一个三角形 的面积相等 分割图形各部 分面积之和等 于 原 图 形 的 面积 同底等高或等 底同高的两个 三角形的面积 相等 底相等的两个三角 形的面积之比为高 之比 高底都不等的两 个三角形的面积 之比为底之比与 高之比的积 Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ａｂ ＝１２ｃｈ Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＰＢ ＋ Ｓ△ＢＰＣ＋Ｓ△ＡＰＣ ＝１２ＡＢ·ｈ１＋ １ ２ＢＣ·ｈ２＋ １ ２ＡＣ·ｈ３ Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＢＣＤ， Ｓ△ＡＢＤ＝Ｓ△ＡＤＣ Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ＢＣ·ｈ， Ｓ△ＢＣＤ＝ １ ２ＢＣ·ｈ′， Ｓ△ＡＢＣ Ｓ△ＢＣＤ ＝ｈｈ′， 同理，高相等的两 个三角形的面积之 比为底之比 Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ＢＣ·ｈ， Ｓ△ＤＥＦ＝ １ ２ＥＦ·ｈ′， Ｓ△ＡＢＣ Ｓ△ＤＥＦ ＝ＢＣＥＦ· ｈ ｈ′ 针对训练 １．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ＝３，ＢＣ＝４，Ｄ为斜 边ＡＢ上一动点，ＤＥ⊥ＢＣ，ＤＦ⊥ＡＣ，垂足分 别为Ｅ，Ｆ．则线段ＥＦ的最小值为 （　Ｄ　） Ａ．４５　　　Ｂ． ３ ５　　　Ｃ． ５ ２　　　Ｄ． １２ ５ 第１题图 　　　 第２题图 ２．如图，四边形 ＡＢＣＤ是菱形，对角线 ＡＣ， ＢＤ相交于点Ｏ，ＤＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，若ＡＣ＝８， ＢＤ＝６，则ＤＥ＝ （　Ｃ　） Ａ．５槡３ Ｂ．２槡５ Ｃ． ２４ ５ Ｄ． ４８ ５ ３．如图，方格纸中小正方形的边长为１，△ＡＢＣ 的三个顶点都在小正方形的格点上，点Ｃ到 ＡＢ边的距离为 （　Ｂ　） 第３题图 Ａ．槡５　 Ｂ． ７槡１３ １３　 Ｃ． １４槡１３ １３ 　 Ｄ． 槡１０ ２ ４．正方形ＡＢＣＤ、正方形ＢＥＦＧ和正方形ＲＫＰＦ 的位置如图，点Ｇ在线段ＤＫ上，正方形ＢＥ ＦＧ的边长为４，则△ＤＥＫ的面积为 （　Ｄ　） 第４题图 Ａ．１０ Ｂ．１２ Ｃ．１４ Ｄ．                                １６ ３１ 培优册·广西数学 模 型 方 法 篇 ５．如图，△ＡＢＣ中，ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分线，ＢＥ 是△ＡＢＤ边ＡＤ上的中线，若△ＡＢＣ的面积 是２４，ＡＢ＝５，ＡＣ＝３，求△ＡＢＥ的面积． 第５题图 解：如解图，过点 Ｄ分别作 ＤＦ⊥ＡＢ，垂足为 Ｆ， ＤＧ⊥ＡＣ，垂足为Ｇ， ∵ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分线，ＤＦ⊥ＡＢ，ＤＧ⊥ＡＣ， ∴ＤＦ＝ＤＧ， ∵ＡＢ＝５，ＡＣ＝３， ∴ Ｓ△ＡＢＤ Ｓ△ＡＤＣ ＝ １ ２ＡＢ·ＤＦ １ ２ＡＣ·ＤＧ ＝ＡＢＡＣ＝ ５ ３， ∵△ＡＢＣ的面积是２４， ∴Ｓ△ＡＢＤ＝ ５ ８Ｓ△ＡＢＣ＝