专题4 遇到角平分线如何思考-【一战成名新中考】2024广西中考数学·培优册

培优册·广西数学 模 型 方 法 篇 专题四　遇到角平分线如何思考 （广西２０２３．２３，北部湾６年２考） 类 型 一　作垂线构全等 已知 作法 结论 Ｐ是∠ＭＯＮ平分线上 的一点，ＰＡ⊥ＯＭ 于 点Ａ 过点Ｐ作ＰＢ⊥ＯＮ于点Ｂ ＡＰ＝ＢＰ， Ｒｔ△ＡＯＰ≌Ｒｔ△ＢＯＰ 练习１题图 练习１　如图，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，ＡＢ＝２，ＢＣ＝５，ＢＤ是∠ＡＢＣ的平分 线，设△ＡＢＤ和△ＢＤＣ的面积分别是Ｓ１，Ｓ２，则Ｓ１∶Ｓ２的值为 （　Ｂ　） Ａ．５∶２　　　　　Ｂ．２∶５　　　　　Ｃ．１∶２　　　　　Ｄ．１∶５ 类 型 二　截取等线段构全等（截长补短） 已知 作法 结论 Ｐ是∠ＭＯＮ平分线上 的一点，Ａ是射线 ＯＭ 上任意一点 在ＯＮ上截取ＯＢ＝ＯＡ，连接ＰＢ △ＡＯＰ≌△ＢＯＰ 练习２题图 练习２　（一题多解法）如图，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝２∠Ｂ，ＣＤ是∠ＡＣＢ的 平分线，则下列各式正确的是 （　Ａ　） Ａ．ＡＤ＝ＢＣ－ＣＡ Ｂ．ＡＤ＝ＢＣ－ＣＤ Ｃ．ＢＤ＝ＡＣ＋ＣＤ Ｄ．ＡＣ＝ＢＤ－ＡＤ 类 型 三　巧用“三线合一”构等腰 已知 作法 结论 Ｐ是∠ＭＯＮ平分线上 的一点，若 ＡＰ⊥ＯＰ于 点Ｐ 延长ＡＰ，交ＯＮ于点Ｂ △ＡＯＢ是等腰三角形， △ＡＯＰ≌△ＢＯＰ 练习３　如图，点Ｄ在△ＡＢＣ内部，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，且ＡＤ⊥ＢＤ，连接ＣＤ．若△ＢＣＤ的面积为２， 则△ＡＢＣ的面积为　　　　． 练习３题图 ０１ 培优册·广西数学 模 型 方 法 篇 类 型 四　作边或平分线的平行线构等腰 已知 作法 结论 Ｐ是∠ＭＯＮ平分线 上的一点 过点Ｐ作ＰＱ∥ＯＮ交ＭＯ于点Ｑ △ＯＰＱ为等腰三角形 ＯＰ是∠ＭＯＮ的平 分线，点Ａ是ＯＭ上 一点 过点Ａ作ＡＢ∥ＰＯ交ＮＯ延长线于点Ｂ △ＡＯＢ为等腰三角形 练习４　（一题多解法）如图，ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，交ＢＣ于点Ｄ，ＡＢ＝５，ＡＣ＝３，则ＢＤＣＤ＝　　　． 练习４题图 针对训练 １．（一题多解法）如图，ＡＢ∥ＣＤ，ＢＰ和 ＣＰ分 别平分∠ＡＢＣ和∠ＢＣＤ，ＡＤ过点 Ｐ且与 ＡＢ 垂直．若ＡＤ＝８，ＢＣ＝１０，则△ＢＣＰ的面积为 （　Ｂ　） Ａ．１６　　　Ｂ．２０　　　Ｃ．４０　　　Ｄ．８０ 第１题图 ２．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ，ＢＥ⊥ＡＤ交 ＡＤ的延长线于点 Ｅ，连 接ＣＥ．若 ＡＢ＝４，ＡＣ＝３，则△ＡＣＥ的面积 为　　　　． 第２题图 ３．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝７，ＢＣ＝９，ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，过点 Ｄ作 ＤＥ∥ＡＣ 交 ＢＣ于点 Ｅ，若∠ＡＤＢ＝∠ＥＤＢ，求 ＡＣ 的长． 第３题图                                      １１ 一战成名·广西数学 培 优 册 ＝１２ＯＢ·ＯＣ－ １ ２ＯＣ·ｘＨ－ １ ２ＯＢ·ｙＨ ＝１２×３×３－ １ ２×３×１－ １ ２×３×１ ＝３２； ②解法一：如解图②，过点Ｐ作 ＰＱ⊥ｘ轴，交 ＢＣ于点 Ｑ，设 点Ｐ的横坐标为ａ，由（３）可知，ＰＱ＝－ａ２＋３ａ， Ｓ△ＢＣＰ＝Ｓ△ＰＣＱ＋Ｓ△ＰＱＢ ＝１２ＰＱ（ｘＰ－ｘＣ）＋ １ ２ＰＱ（ｘＢ－ｘＰ） ＝１２ＰＱ（ｘＢ－ｘＣ） ＝１２（－ａ ２＋３ａ）×３ ＝－３２ａ ２＋９２ａ， 当Ｓ△ＢＣＰ＝Ｓ△ＢＣＨ时，－ ３ ２ａ ２＋９２ａ＝ ３ ２，解得 ａ＝ 槡３＋５ ２ 或 槡３－５ ２ ．即点Ｐ的横坐标为 槡３＋５ ２ 或 槡３－５ ２ ． 解法二：思路点拨：如解图③，过点Ｈ作直线 ｌ１∥ＢＣ交 ｙ轴 于点Ｋ，在 ｙ轴上取点 Ｌ使得 ＣＬ＝ＣＫ，过点 Ｌ作直线 ｌ２∥ ＢＣ，则直线ｌ２与抛物线的交点即为点Ｐ． 例题解图 专题三　遇到中点如何思考 练习１　Ｃ　练习２　Ｄ　练习３　６　练习４　１６　练习５　Ｃ 练习 槡６　 ５１－１ １．Ｃ　２．４　３．Ｂ　４．槡２　变式训练　Ｂ　５．７５ ６．（１）解：∵ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为ＢＣ的中点， ∴∠ＡＢＣ＝∠Ｃ＝３６°，ＡＤ⊥ＢＣ， ∴∠ＢＤＡ＝９０°． ∴∠ＢＡＤ＝９０°－∠ＡＢＣ＝９０°－３６°＝５４°； （２）证明：∵ＢＥ平分∠ＡＢＣ， ∴∠ＡＢＥ＝∠ＥＢＣ． 又∵ＥＦ∥ＢＣ， ∴∠ＥＢＣ＝∠ＢＥＦ． ∴∠ＥＢＦ＝∠ＦＥＢ． ∴ＢＦ＝ＥＦ． ７．（１）证明：如解图，∵ＡＤ⊥ＤＢ，点Ｅ为ＡＢ的中点， ∴ＤＥ＝ＢＥ＝１２ＡＢ．∴∠１＝∠２． ∵ＤＥ∥ＢＣ，∴∠２＝∠３． ∴∠１＝∠３．∴ＢＤ平分∠ＡＢＣ； 第７题解图 （２）解：如解图， ∵ＡＤ⊥ＤＢ，∠Ａ＝３０°， ∴∠１＝６０°．∴∠３＝∠２＝６０°． ∵∠ＢＣＤ＝９０°，∴∠４＝３０°． ∴∠ＣＤＥ＝∠２＋∠４＝９０°． 在Ｒｔ△Ｂ