专题2 二次函数中的线段、面积问题-【一战成名新中考】2024广西中考数学·培优册

培优册·广西数学 模 型 方 法 篇 专题二　二次函数中的线段、面积问题 （北部湾６年５考） 例题图① 例　如图①，抛物线ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３与ｘ轴交于Ａ，Ｂ两点，与ｙ轴交于点Ｃ， 连接ＢＣ． （１）求点坐标：点Ａ的坐标为　（－１，０）　，点 Ｂ的坐标为　（３，０）　，点 Ｃ 的坐标为　（０，３）　，抛物线的顶点坐标为　（１，４）　； （２）求直线解析式：抛物线的对称轴是直线　ｘ＝１　，ＢＣ所在直线的解析式 是　ｙ＝－ｘ＋３　； （３）用代数式表示：点Ｐ为第一象限内抛物线上一点，过点Ｐ作直线ＰＱ⊥ｘ轴于点Ｄ，交ＢＣ 于点Ｑ．若点Ｐ的横坐标为ａ，请用含ａ的代数式表示： ①点坐标：Ｐ　　　　　，Ｑ　　　　　，Ｄ　　　　　； ②长度：ＰＤ＝　　　　　，ＤＱ＝　　　　　，ＰＱ＝　　　　　， 点Ｐ到对称轴的距离为　　　　，点Ｃ到直线ＰＱ的距离为　　　　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ； 坐标系中斜线段长的表示 方法一：如图①，过点Ａ，Ｂ分别作两坐标轴的平行线，构造Ｒｔ△ＡＭＢ，利用勾股定理求解． 方法二：如图②，在 Ｒｔ△ＡＢＭ中，若已知∠Ａ＝α，则 ＡＢ＝ ＡＭ·ｃｏｓα，ＢＭ＝ＡＭ·ｓｉｎα． 方法三：直接利用两点之间距离公式： 若Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）， 则ＡＢ＝ （ｘ２－ｘ１） ２＋（ｙ２－ｙ１）槡 ２． 图① 图② （４）（２０２２北部湾经济区改编）如图②，过点Ａ的直线ｌ：ｙ＝－ｘ－１与抛物线的另一个交点为 Ｅ，点Ｍ为抛物线对称轴上一点，连接ＡＭ，ＥＭ，设点Ｍ的纵坐标为ｍ，当ＡＭ＝ＥＭ时，求 ｍ的值； 例题图② 解：∵抛物线对称轴为直线ｘ＝１， ∴Ｍ（１，ｍ）， 令－ｘ２＋２ｘ＋３＝－ｘ－１，解得ｘ１＝－１（舍去），ｘ２＝４， 将ｘ＝４代入ｙ＝－ｘ－１，得ｙ＝－４－１＝－５， ∴Ｅ（４，－５）， 由ＡＭ２＝ＥＭ２得，２２＋ｍ２＝（４－１）２＋（ｍ＋５）２，解得ｍ＝－３． ∴当ＡＭ＝ＥＭ时，ｍ的值为－３． ５ 培优册·广西数学 模 型 方 法 篇 （５）（２０２２贵港改编）①如图③，点Ｐ为第一象限内抛物线上一点，过点Ｐ作ＰＱ⊥ｘ轴交 ＢＣ于点Ｑ，过点Ｐ作ＰＧ⊥ｙ轴交ＢＣ于点Ｇ，求线段ＰＧ＋ＰＱ的最大值； ②如图④，过点Ｃ的直线ｙ＝－３２ｘ＋３交ｘ轴于点Ｊ，点Ｐ为第一象限内抛物线上一点， 过点Ｐ作ＰＱ⊥ｘ轴交直线ＣＪ于点Ｑ，过点Ｐ作ＰＧ⊥ｙ轴交直线ＣＪ于点Ｇ，求线段ＰＧ＋ ＰＱ的最大值； 　　　　　例题图 （６）（２０２２贺州改编）如图⑤，点Ｐ为第一象限内抛物线上一点，点Ｈ（１，１）在抛物线的对称 例题图⑤ 轴上，连接ＣＰ，ＢＰ，ＣＨ，ＢＨ． ①求△ＢＣＨ的面积； ②（一题多解法）当Ｓ△ＢＣＰ＝Ｓ△ＢＣＨ，求点Ｐ的横坐标 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ． 坐标系中求斜三角形面积的方法 求三条边都不在坐标轴上（或都不与坐标轴 平行）的三角形面积的一般方法 １．分割法（如图③） Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＢＤ＋Ｓ△ＢＣＤ ＝１２ＢＤ（ＡＥ＋ＣＦ） ＝１２ＢＤ｜ｙＣ－ｙＡ｜ ２．补全法（如图④） Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＣＤ－Ｓ△ＡＢＤ－Ｓ△ＢＣＤ 图③ 图④ ６ .AD =BC=10-x. .4≤AD≤9 6￥*30 0E=0-PE=7-x-5)=- ∴4≤EH≤9 5=5am=2(-5)x(-2+20) 6550 +33 即点E到直线AD的最小距离为4. S关于x的函数解析式为 4.解：(1)设∠EDC-m,∠B=∠C=n, ,∠AED=∠EDC+∠C=m+n, -+子0<<5. 又AD=AE, .∠ADE=∠AED=m+n, 则∠ADC=∠ADE+∠EDC=2m+n, 专题二二次函数中的线段、面积问题 又.∠ADC=∠B+∠BAD. 例解：(1)(-1,0)，(3,0)，(0,3)，(1,4)： ∴∠BAD=2m, (2)x-1,y=-x+3: .2m=30°. (3)①(a,-2+2a+3),(a,-a+3),(a,0) 解得m=15° ②-a2+2a+3,-a+3,-d2+3a,la-11,a .∠EDC的度数是15°： (4):抛物线对称轴为直线x=1. 若∠EDC-=20°，则∠BAD=2m=2×20°=40°：