专题1 与几何动态有关的函数分析与计算-【一战成名新中考】2024广西中考数学·培优册

书 培优册·广西数学 　　　　　　　一、广西中考培优———模型方法篇 模 型 方 法 篇 专题一　与几何动态有关的函数分析与计算 （广西２０２３．２４，北部湾６年１考） 例１　如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ａ＝ ３０°，ＡＢ的长为４，点Ｄ在ＡＢ边上运动，过点 Ｄ作ＤＥ⊥ＡＣ，ＤＦ⊥ＢＣ，垂足分别为Ｅ，Ｆ．设 ＡＤ的长为ｘ，矩形ＣＥＤＦ的面积为ｙ，则ｙ关 于ｘ的函数解析式为　　　　　　． 例１题图 【点拨】要求矩形ＣＥＤＦ的面积，可分别求出 矩形 ＣＥＤＦ的边 ＤＥ，ＣＥ（或 ＤＦ）的长． ∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ａ＝３０°，ＡＢ＝４，ＡＤ＝ｘ，则 ＡＣ＝　２槡３　，ＤＥ＝　　　ｘ　，ＡＥ＝ 　　　ｘ　，ＣＥ＝ＡＣ－ＡＥ＝　２槡３－　ｘ　， 矩形ＣＥＤＦ的面积为ＤＥ·ＣＥ＝　－　　　； 或：ＢＤ＝ＡＢ－ＡＤ＝　４－ｘ　，ＤＦ＝　　　　， 矩形ＣＥＤＦ的面积为ＤＥ·ＤＦ＝ 　． 练习１　如图，正方形ＡＢＣＤ的边长为２，点Ｐ， Ｑ分别是正方形 ＡＢＣＤ的边 ＡＢ，ＢＣ上的动 点，且ＢＱ＝２ＡＰ，若ＡＰ＝ｘ，△ＢＰＱ的面积为 ｙ，则ｙ关于ｘ的函数解析式为　　　　　， 自变量 ｘ的取值范围为　０≤ｘ≤１　， △ＢＰＱ的面积的最大值为　　　　． 练习１题图 例２　如图①，△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝６０°，Ｄ是ＢＣ 边上的一个动点，ＤＥ∥ＡＢ，交 ＡＣ于点 Ｅ， ＥＦ∥ＢＣ，交ＡＢ于点Ｆ．设ＢＤ＝ｘ． 　　 例２题图 （１）若图①中某个几何图形的面积为 ｙ，图 ②刻画的是 ｙ随 ｘ变化而变化的图象， 则ｙ是　　　　； Ａ．△ＡＢＥ的面积 Ｂ．四边形ＢＤＥＦ的面积 Ｃ．△ＢＣＥ的面积 （２）在（１）的条件下，若图②为一段抛物线， Ｐ为其顶点，根据图象回答下列问题： ①图中Ｐ点代表的意义是　ＢＤ的长为 ２时，四边形ＢＤＥＦ的面积最大，且面 积为３　； ②ＢＣ的长为　　　　； ③当ｘ＝２时，比较线段的长短：ＢＦ　＝　 ＡＦ（填“＞”“＜”或“＝”                                                           ）； １ 培优册·广西数学 模 型 方 法 篇 ④图②中抛物线的解析式为 　； ⑤ＡＢ的长为　２槡３　； （３）设△ＤＣＥ的面积为 Ｓ，写出 Ｓ关于 ｘ的 解析式，并求当ｘ为何值时，Ｓ与ｙ相等． 解：如解图，作 ＦＨ⊥ＢＣ于点 Ｈ，Ｓ＝１２ＤＣ· ＦＨ，ｙ＝ＢＤ·ＦＨ， ∴Ｓ＝１２ＤＣ· ｙ ＢＤ＝ １ ２（４－ｘ）（－ ３ ４ｘ＋３）＝ ３ ８ｘ ２－３ｘ＋６． 当Ｓ＝ｙ时，即１２ＤＣ·ＦＨ＝ＢＤ·ＦＨ， ∴ＤＣ＝２ＢＤ， ∵ＢＤ＋ＤＣ＝ＢＣ， ∴ｘ＋２ｘ＝４，解得ｘ＝４３． ∴当ｘ＝４３时，Ｓ与ｙ相等． 练习２　如图①，点Ｐ为菱形ＡＢＣＤ对角线ＡＣ 上一动点，点Ｅ为边ＣＤ上一定点，连接ＰＢ， ＰＥ，ＢＥ．图②是点Ｐ从点Ａ匀速运动到点Ｃ 时，△ＰＢＥ的面积 ｙ随 ＡＰ的长度 ｘ变化的 关系图象（当点 Ｐ在 ＢＥ上时，令 ｙ＝０），则 菱形ＡＢＣＤ的周长为 （　Ｃ　） 　　 练习２题图 Ａ．８槡３　　Ｂ．８槡５　　Ｃ．２０　　Ｄ．２４ 针对训练 １．如图①，矩形ＡＢＣＤ中，Ｅ是对角线ＡＣ上一 个动点（不与点Ａ重合），作ＥＦ⊥ＢＣ，交ＢＣ 于点Ｆ，连接ＢＥ，如果设ＣＦ＝ｘ，△ＡＢＥ的面 积为ｙ，那么可得ｙ关于ｘ的函数图象（如图 ②所示）． （１）求ｙ关于 ｘ的函数解析式，并写出 ｘ的 取值范围； （２）求△ＡＢＣ的面积及矩形对角线 ＡＣ 的长． 　 第１题图 解：（１）设 ｙ关于 ｘ的函数解析式为 ｙ＝ｋｘ＋ｂ （ｋ≠０）， ∴将（０，２４），（４，８）代入得， ｂ＝２４， ４ｋ＋ｂ＝８{ ，解得 ｂ＝２４， ｋ＝－４{ ， ∴ｙ＝－４ｘ＋２４； 当ｙ＝０时，即－４ｘ＋２４＝０， 解得ｘ＝６， ∵点Ｅ不与点Ａ重合， ∴ｘ的取值范围为０≤ｘ＜６； （２）当ｘ＝０时，点Ｅ与点Ｃ重合， ∴Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＢＥ＝２４， ∴△ＡＢＣ的面积为２４； 由（１）可得，当ｙ＝０时，ｘ＝６， 即此时ＢＣ＝ＦＣ＝６， ∴Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ＡＢ·ＢＣ＝２４，即 １ ２ＡＢ×６＝２４， ∴ＡＢ＝８， 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理可得，ＡＣ＝１０                                                                          ． ２ 培优册·广西数学 模 型 方 法 篇 ２．（２０