精品解析：上海交通大学附属中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷

交大附中高一开学考数学试卷 2024.03 一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 集合的子集共有___________个. 2. 函数零点是________. 3. 已知幂函数的图象过点，则实数______. 4. 在半径为3的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为______. 5. 已知，则______. 6. 已知，函数的最小正周期为，则实数______． 7. 若对于任意，恒成立，则实数的取值范围是______. 8. 若，则________. 9 已知，则______. 10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则______. 11. 已知函数值域为，则实数的取值范围是__________. 12. 已知， 且， 则的最大值为________. 二.选择题（本大题共4题，满分20分） 13. 对于实数，，，“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 14. 已知奇函数，当时，，当，（ ） A. B. C. D. 15. 已知实数，，满足，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 16. 给定集合和定义域为的函数，如果对于任意、及均成立，则称函数是“关联”的.对于下列两个命题： ①若是“关联”的，则一定是“关联”的（为正整数）； ②若是“关联”的（、为正整数），则一定是“关联”的.判断正确的是（ ） A. ①、②都是真命题 B. ①、②都是假命题 C. ①真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 三.解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 已知、均为第二象限角，且，. （1）求的值； （2）求的值. 18. 设为实数，函数 （1）若，求的取值范围； （2）求的最小值． 19. 为加强学生劳动教育，成都石室中学北湖校区将一块四边形园地用于蔬菜种植实践活动. 经测量，边界与的长度都是14米，，. （1）若的长为6米，求的长； （2）现需要沿实验园的边界修建篱笆以提醒同学们不要随意进入，问所需要篱笆的最大长度为多少米？ 20. 已知函数（且）． （1）求的定义域； （2）若当时，函数在有且只有一个零点，求实数b的范围； （3）是否存在实数a，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 21. 已知函数的定义域为，若对于给定的非零实数，存在使得成立，则称函数具有性质. （1）已知，判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）已知，若函数，具有性质，求正实数的取值范围； （3）已知函数，图像是连续不断的曲线，且，求证：函数，具有性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 交大附中高一开学考数学试卷 2024.03 一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 集合的子集共有___________个. 【答案】 【解析】 【分析】将子集一一列出即可． 【详解】集合，0，的子集有：，，，，，，，，，， ，0，共8个 故答案为：． 2. 函数的零点是________. 【答案】 【解析】 【分析】令，即可得解. 【详解】由，得，所以， 所以函数的零点是. 故答案为：. 3. 已知幂函数的图象过点，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】直接代入坐标即可求解. 【详解】由题意，所以. 故答案为：. 4. 在半径为3的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为______. 【答案】## 【解析】 【分析】直接利用弧长公式计算即可. 【详解】因为圆心角，半径为，所以所对弧长为. 故答案为： 5. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据的范围，求出余弦值，然后结合余切的定义计算即可. 【详解】， 则. 故答案为： 6. 已知，函数的最小正周期为，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】先用辅助角公式化简，然后利用周期公式求解. 【详解】， 故，所以. 故答案为：. 7. 若对于任意，恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况讨论即可得解. 【详解】①当时，不等式恒成立，所以符合要求； ②当时，题意等价于，即，解得， 综上可知. 故答案为：. 8. 若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用倍角公式化简，弦化切转化成齐次式，求得. 【详解】由，则，得， 得，得. 故答案为： 【点睛】本题考查了倍角公式，同角三角函数的基本关系式，弦化切技巧，属于容易题. 9. 已知，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】由题意可知以6为周期，枚举求出前项，然后计算前项和，计算周期数以及剩余项求和即可. 【详